两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知向量=（2cosωx，-1），=（sinωx-cosωx，2），函数f（x）=•+3的周期为π．

（Ⅰ）求正数ω；

（Ⅱ）若函数f（x）的图象向左平移，再横坐标不变，纵坐标伸长到原来的倍，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的单调增区间．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=+3=（2cosωx，-1）•（sinωx-cosωx，2）+3 …（1分）

=2cosωx（sinωx-cosωx）+1 …（2分）

=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1 …（3分）

=sin2ωx-cos2ωx …（4分）

=sin． …（5分）

∵T=π，且ω＞0，∴ω=1．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin，…（7分）

y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得 g（x）=•sin=2sin2x． …（9分）

由2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z；…（10分）

解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z；…（11分）

∴函数g（x）的单调增区间为，k∈Z．…（12分）

解析

解：（Ⅰ）f（x）=+3=（2cosωx，-1）•（sinωx-cosωx，2）+3 …（1分）

=2cosωx（sinωx-cosωx）+1 …（2分）

=2sinωxcosωx-2cos2ωx+1 …（3分）

=sin2ωx-cos2ωx …（4分）

=sin． …（5分）

∵T=π，且ω＞0，∴ω=1．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=sin，…（7分）

y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律可得 g（x）=•sin=2sin2x． …（9分）

由2kπ-≤2x≤2kπ+，k∈Z；…（10分）

解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z；…（11分）

∴函数g（x）的单调增区间为，k∈Z．…（12分）

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin（π-x），x∈R．

（1）求函数f2（x）+cos2（π+x）的值；

（2）若f（α）=，α∈[0，]，求f（α-）的值．

正确答案

解：（1）∵sin（π-x）=sinx，cos（π+x）=-cosx…（2分）

∴f2（x）+cos2（π+x）=sin2x+（-cosx）2=sin2x+cos2x=1…（5分）

（2）由于f（x）=sinx．

∵f（α）=sinα，∴…（6分）

∵，∴…（8分）

∴=

∴…（12分）

解析

解：（1）∵sin（π-x）=sinx，cos（π+x）=-cosx…（2分）

∴f2（x）+cos2（π+x）=sin2x+（-cosx）2=sin2x+cos2x=1…（5分）

（2）由于f（x）=sinx．

∵f（α）=sinα，∴…（6分）

∵，∴…（8分）

∴=

∴…（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量：=（2cos（x-），2sin（x-）），=（cos（x-），sin（x+）），（x∈R），函数f（x）=•-1．

（1）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；

（2）求函数f（x）在区间[-，]上的值域．

正确答案

解：（1）∵=（2cos（x-），2sin（x-）），=（cos（x-），sin（x+）），

∴f（x）=•-1=2cos2（x-）+2sin（x-）sin（x+）-1

=2cos2（x-）-1-2sin（-x）cos（-x）

=cos（2x-）-sin（-2x）

=cos2x+sin2x-cos2x

=sin2x-cos2x=sin

∴周期T==π

由=kπ+（k∈Z），得x=（k∈Z）．

∴函数图象的对称轴方程为x=（k∈Z）

（2）∵x∈，∴∈．

∵f（x）=sin在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴当x=时，f（x）取得最大值1，又∵=-＜f=，

∴当x=时，f（x）取得最小值-．

∴函数f（x）在上的值域为

解析

解：（1）∵=（2cos（x-），2sin（x-）），=（cos（x-），sin（x+）），

∴f（x）=•-1=2cos2（x-）+2sin（x-）sin（x+）-1

=2cos2（x-）-1-2sin（-x）cos（-x）

=cos（2x-）-sin（-2x）

=cos2x+sin2x-cos2x

=sin2x-cos2x=sin

∴周期T==π

由=kπ+（k∈Z），得x=（k∈Z）．

∴函数图象的对称轴方程为x=（k∈Z）

（2）∵x∈，∴∈．

∵f（x）=sin在区间上单调递增，在区间上单调递减，

∴当x=时，f（x）取得最大值1，又∵=-＜f=，

∴当x=时，f（x）取得最小值-．

∴函数f（x）在上的值域为

题型：单选题

单选题

三角形的两边之差为2，且这两边的夹角的余弦值为，面积为14，此三角形是（　　）

A钝角三角形

B锐角三角形

C直角三角形

D不能确定

正确答案

解析

解：如图所示，

假设已知a-c=2，cosB=，S△ABC=14．

∵0＜B＜π，∴sinB==．

又14=acsinB，∴ac=35．

联立，∵a，c＞0，解得，b==4，

可得cosA==＞0，cosC==＞0．

三角形是锐角三角形，

故选B．

题型：简答题

简答题

已知tan（）=，tan（）=-，求tan（α+β）的值．

正确答案

解：∵tan（）=，tan（）=-，

∴tan[（α-）+（β-）]=tan===，

∴tan（α+β）===．

解析

解：∵tan（）=，tan（）=-，

∴tan[（α-）+（β-）]=tan===，

∴tan（α+β）===．

题型：填空题

填空题

△ABC的三个内角分别为A、B、C，若tanA和tanB是关于x的方程x2+mx+m+1=0的两实根，则角C=______；实数m的取值范围是______．

正确答案

（-1，2-2]

解析

解：∵tanA和tanB是关于x的方程x2+mx+m+1=0的两实根，

∴且△=m2-4（m+1）≥0．

∴tan（A+B）===1，

∵A、B、C为△ABC的三个内角，

∴A+B=，故C=π-（A+B）=π-=；

∴tanA+tanB=-m＞0，且m+1＞0，可得m＞-1

∴m＜0，又△=m2-4（m+1）≥0．

∴-1＜m≤2-2．

故答案为：，（-1，2-2]．

题型：填空题

填空题

已知α是第二象限角，且，则sin2α=______．

正确答案

解析

解：α是第二象限角，且，∴cosα=-．

则sin2α=2sinαcosα=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

如图，已知点A（3，4），C（2，0），点O为坐标原点，点B在第二象限，且|OB|=3，记∠AOC=θ．高．

（Ⅰ）求sin2θ的值；

（Ⅱ）若AB=7，求△BOC的面积．

正确答案

解：（Ⅰ）∵A点的坐标为（3，4），∴，

∴，

∴

（Ⅱ）设B（x，y），由OB=3，AB=7得

解得或，

又点B在第二象限，故．

∴△BOC的面积

解析

解：（Ⅰ）∵A点的坐标为（3，4），∴，

∴，

∴

（Ⅱ）设B（x，y），由OB=3，AB=7得

解得或，

又点B在第二象限，故．

∴△BOC的面积

题型：单选题

单选题

设函数f（x）=sin3x+acos3x（a∈R）满足f（）=f（），则a的值是（　　）

正确答案

解析

解：由可得f（）=f（），函数f（x）的图象关于x=对称，

又f（x）=sin3x+acos3x=（sin3x+cos3x）

=sin（3x+φ），（其中tanφ=a），

由函数的图象可知，函数在对称轴处取到最大值或最小值，

即f（）=sin3•+acos3•=1=±，即a2+1=1，解得a=0，

故选D

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=

（Ⅰ）把f（x）解析式化为f（x）=Asin（ωx+ϕ）+b的形式，并用五点法作出函数f（x）在一个周期上的简图；

（Ⅱ）计算f（1）+f（2）+…+f（2012）的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意知，

列表：

描点画图，如图所示：

（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期为4，且2012=4×503，

∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．

解析

解：（Ⅰ）由题意知，

列表：

描点画图，如图所示：

（Ⅱ）∵f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+1+0+1=4，而y=f（x）的周期为4，且2012=4×503，

∴f（1）+f（2）+…+f（2012）=4×503=2012．

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