两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：填空题

填空题

已知函数f（x）=cos2x-4acos2cos2的最小值为g（a），则g（a）=______．

正确答案

解析

解：f（x）=cos2x-4acos2cos2

=cos2x-a=cos2x-a（1+cosx）2

=2cos2x-1-a-2acosx-acos2x

=（2-a）cos2x-2acosx-1-a．

当a=2时，fmin（x）=-7．

当1＜a＜2时，fmin（x）=1-4a．

当a≤1时，．

当a＞2时，fmin（x）=1-4a．

综上，g（a）=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知m=（1，-），n=（sin2x，cos2x），定义函数f（x）=m•n．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）已知△ABC中，三边a，b，c所对的角分别为A，B，C，f（）=0．

（i）若acosB+bcosA=csinC，求角B的大小；

（ii）记g（λ）=|+|，若||=||=3，试求g（λ）的最小值．

正确答案

解：（I）=sin2x-cos2x=2=，由解得，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；

（II）由=0，得，∵0＜A＜π，∴．

（i）∵acosB+bcosA=csinC，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，化为sin（A+B）=sinCsinC，即sinC=sinCsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0．

∴sinC=1，∴C=．∴B=π-A-C=．（ii）==，又，A=．∴==，当时，g（λ）取得最小值．

解析

解：（I）=sin2x-cos2x=2=，由解得，k∈Z．

∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）；

（II）由=0，得，∵0＜A＜π，∴．

（i）∵acosB+bcosA=csinC，利用正弦定理可得sinAcosB+sinBcosA=sinCsinC，化为sin（A+B）=sinCsinC，即sinC=sinCsinC，∵0＜C＜π，∴sinC≠0．

∴sinC=1，∴C=．∴B=π-A-C=．（ii）==，又，A=．∴==，当时，g（λ）取得最小值．

题型：单选题

单选题

sin7°cos37°-sin83°cos53°的值为（　　）

A-

D-

正确答案

解析

解：sin7°cos37°-sin83°cos53°

=cos83°cos37°-sin83°sin37°

=cos（83°+37°）

=cos120°

=-，

故选：A．

题型：填空题

填空题

已知△ABC中，AD、BE分别为BC、AC边的中线且AD⊥BE，则cosC的最小值为______．

正确答案

解析

解：设AC=2a，BC=2b，则CE=a，CD=b，

因为，，且AD⊥BE，

所以=0，

=0，

abcosC-2a2cos0°-2b2cos0°+4abcosC=0，

即≥=（当且仅当a=b时取等号），

所以cosC的最小值为：，

故答案为：．

题型：单选题

单选题

若向量=（sin（α+），1），=（1，cosα-），⊥，则sin（α+）=（　　）

A-

C-

正确答案

解析

解：∵⊥，

∴•=0，即sin（α+）+cosα-=0，

即sinα+cosα=，

即sin（α+）=，

∴sin（α+）=sin（α++π）=-sin（α+）=-，

故选：C

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈R．

（Ⅰ）求f（）的值；

（Ⅱ）试写出一个函数g（x），使得g（x）f（x）=cos2x，并求g（x）的单调区间．

正确答案

解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=，

∴；

（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．

下面给出证明：

∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，

∴g（x）=cosx-sinx符合要求．

又∵g（x）=cosx-sinx=，

由，得，

∴g（x）的单调递增区间为，k∈Z．

又由，得，

∴g（x）的单调递减区间为，k∈Z．

解析

解：（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx=，

∴；

（Ⅱ）g（x）=cosx-sinx．

下面给出证明：

∵g（x）f（x）=（cosx-sinx）（sinx+cosx）=cos2x-sin2x=cos2x，

∴g（x）=cosx-sinx符合要求．

又∵g（x）=cosx-sinx=，

由，得，

∴g（x）的单调递增区间为，k∈Z．

又由，得，

∴g（x）的单调递减区间为，k∈Z．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的周期及f（x）的最大值和最小值；

（Ⅱ）求f（x）在[0，π]上的单调递增区间．

正确答案

解：（Ⅰ）函数f（x）==+5+1=5sin（2x+）+．

函数f（x）的周期T==π，

函数f（x）的最大值为和最小值-；

（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）=5sin（2x+）+．

再由2kπ-≤2x≤2kπ+（k∈Z），

解得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）．当k=0时，-≤x≤，所以0≤x≤；

k=1时≤x≤，∴≤x≤π，

所以y=f（x）的单调增区间为[0，]，[]．

解析

解：（Ⅰ）函数f（x）==+5+1=5sin（2x+）+．

函数f（x）的周期T==π，

函数f（x）的最大值为和最小值-；

（Ⅱ）由（Ⅰ），f（x）=5sin（2x+）+．

再由2kπ-≤2x≤2kπ+（k∈Z），

解得kπ-≤x≤kπ+（k∈Z）．当k=0时，-≤x≤，所以0≤x≤；

k=1时≤x≤，∴≤x≤π，

所以y=f（x）的单调增区间为[0，]，[]．

题型：简答题

简答题

已知sinα=，cos（α-β）=，＜β＜α＜π．

（1）求cos（-2α）的值；

（2）求sinβ的值．

正确答案

解：（1）∵＜α＜π，sinα=＜，

∴＜α＜π，∴＜2α＜2π，

∴cos2α=1-2sin2α=，

∴sin2α=-=-，

∴cos（-2α）=-cos2α+sin2α

=；

（2）∵＜β＜α＜π，∴0＜α-β，

又sinα=，cos（α-β）=，

∴cosα=-=-，

sin（α-β）==，

∴sinβ=sin[α-（α-β）]

=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）

==．

解析

解：（1）∵＜α＜π，sinα=＜，

∴＜α＜π，∴＜2α＜2π，

∴cos2α=1-2sin2α=，

∴sin2α=-=-，

∴cos（-2α）=-cos2α+sin2α

=；

（2）∵＜β＜α＜π，∴0＜α-β，

又sinα=，cos（α-β）=，

∴cosα=-=-，

sin（α-β）==，

∴sinβ=sin[α-（α-β）]

=sinαcos（α-β）-cosαsin（α-β）

==．

题型：填空题

填空题

sin（α-）=，则cos（-2α ）=______．

正确答案

解析

解：由题意可得cos（-2α ）=cos（2α- ）

=cos[2（α- ）]=1-2sin2（α-）

=1-2×=，

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sin2x+cos2x，x∈R；

（1）求f（x）的最小正周期；

（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．

（3）画出函数在[0，π]上的图象．

正确答案

解：f（x）==．

（1）=π；

（2）∵x∈，∴，

∴∈，

∴．

∴f（x）在区间上的最大值为-，最小值为2．

（3）列表：

画出图象：

解析

解：f（x）==．

（1）=π；

（2）∵x∈，∴，

∴∈，

∴．

∴f（x）在区间上的最大值为-，最小值为2．

（3）列表：

画出图象：

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