两角和与差的正弦、余弦和正切公式_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知0＜α＜β＜，cos（α-β）=，sinβ=，

（1）求cos2β的值；

（2）求sinα的值．

正确答案

解：（1）cos2β=1-2sin2β=1-=；

（2）因为0

所以α，β均为锐角

故＜α＜β＜0，α-β为第四象限角

所以sin（α-β）=-，

cosβ=

所以sinα=sin[（α-β）+β]

=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ

=．

解析

解：（1）cos2β=1-2sin2β=1-=；

（2）因为0

所以α，β均为锐角

故＜α＜β＜0，α-β为第四象限角

所以sin（α-β）=-，

cosβ=

所以sinα=sin[（α-β）+β]

=sin（α-β）cosβ+cos（α-β）sinβ

=．

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题型：简答题

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简答题

（Ⅰ）①证明两角和的余弦公式Cα+β：cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；②由Cα+β推导两角和的正弦公式Sα+β：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．

（Ⅱ）已知△ABC的面积，且，求cosC．

正确答案

解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，

终边交⊙O于P2；

角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．

则P1（1，0），P2（cosα，sinα）

P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））

由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得

[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．（4分）

②由①易得cos（-α）=sinα，sin（-α）=cosα

sin（α+β）=cos[-（α+β）]=cos[（-α）+（-β）]

=cos（-α）cos（-β）-sin（-α）sin（-β）

=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）

（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c

则S=bcsinA==bccosA=3＞0

∴A∈（0，），cosA=3sinA

又sin2A+cos2A=1，∴sinA=，cosA=

由题意，cosB=，得sinB=

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-（12分）

解析

解：（Ⅰ）①如图，在直角坐标系xOy内做单位圆O，并作出角α、β与-β，使角α的始边为Ox，交⊙O于点P1，

终边交⊙O于P2；

角β的始边为OP2，终边交⊙O于P3；角-β的始边为OP1，终边交⊙O于P4．

则P1（1，0），P2（cosα，sinα）

P3（cos（α+β），sin（α+β）），P4（cos（-β），sin（-β））

由P1P3=P2P4及两点间的距离公式，得

[cos（α+β）-1]2+sin2（α+β）=[cos（-β）-cosα]2+[sin（-β）-sinα]2

展开并整理得：2-2cos（α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ）

∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ．（4分）

②由①易得cos（-α）=sinα，sin（-α）=cosα

sin（α+β）=cos[-（α+β）]=cos[（-α）+（-β）]

=cos（-α）cos（-β）-sin（-α）sin（-β）

=sinαcosβ+cosαsinβ（6分）

（Ⅱ）由题意，设△ABC的角B、C的对边分别为b、c

则S=bcsinA==bccosA=3＞0

∴A∈（0，），cosA=3sinA

又sin2A+cos2A=1，∴sinA=，cosA=

由题意，cosB=，得sinB=

∴cos（A+B）=cosAcosB-sinAsinB=

故cosC=cos[π-（A+B）]=-cos（A+B）=-（12分）

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题型：填空题

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填空题

若sinα-sinβ=1-，cosα-cosβ=，则cos（α-β）的值为______．

正确答案

解析

解：∵sinα-sinβ=1-①，cosα-cosβ=②，

∴①2+②2得：

sin2α+sin2β-2sinα•sinβ+cos2α+cos2β-2cosα•cosβ=+，

即2-2cos（α-β）=1-++，

∴cos（α-β）=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sinx-sin（x+）

（1）求f（）的值；

（2）求f（x）的单调递增区间．

正确答案

解：（Ⅰ）f（）=sin-sin（+）=1-=．

（Ⅱ）f（x）=sinx-sin（x+）

=sinx-（sinxcos）

=sinx-（sinx+cosx）

=sinx-cosx

=sin（x-）

函数y=sinx的单调递增区间为[2k，2k]（k∈Z）

由2k≤x-≤2k，（k∈Z）

得：2kπ（k∈Z）

所以f（x）的单调递增区间为[2kπ]（k∈Z）．

解析

解：（Ⅰ）f（）=sin-sin（+）=1-=．

（Ⅱ）f（x）=sinx-sin（x+）

=sinx-（sinxcos）

=sinx-（sinx+cosx）

=sinx-cosx

=sin（x-）

函数y=sinx的单调递增区间为[2k，2k]（k∈Z）

由2k≤x-≤2k，（k∈Z）

得：2kπ（k∈Z）

所以f（x）的单调递增区间为[2kπ]（k∈Z）．

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题型：单选题

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单选题

设函数f（x）=a1•sin（x+α1）+a2•sin（x+α2）+…+αn•sin（x+αn），其中αi（i=1，2，…，n，n∈N*，n≥2）为已知实常数，x∈R，则下列命题中错误的是（　　）

A若f（0）=f（）=0，则f（x）=0对任意实数x恒成立

B若f（0）=0，则函数f（x）为奇函数

C若f（）=0，则函数f（x）为偶函数

D当f2（0）+f2（）≠0时，若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=2kπ（k∈Z）

正确答案

D

解析

解：A．若f（0）=0，则f（0）=a1•sin（α1）+a2•sin（α2）+…+an•sin（αn）=0，

则f（-x）+f（x）=a1•sin（-x+α1）+a2•sin（-x+α2）+…+an•sin（-x+αn）+a1•sin（x+α1）+a2•sin（x+α2）+…+an•sin（x+αn）

=cosx[a1•sinα1+a2•sinα2+…+an•sinαn]=0，∴函数f（x）为奇函数；

若f（）=0，则f（）=-a1•cosα1-a2•cosα2+…-an•cosαn=0，

∴f（-x）-f（x）=a1•sin（-x+α1）+a2•sin（-x+α2）+…+an•sin（-x+αn）-a1•sin（x+α1）-a2•sin（x+α2）-…-an•sin（x+αn）

=sinx[a1•cosα1+a2•cosα2+…+an•cosαn]=0，∴函数f（x）为偶函数；

则若f（0）=f（）=0，则函数f（x）为既是奇函数又是偶函数，即f（x）=0，

∴f（x）=0对任意实数x恒成立；故A正确．

B．由A的证明过程可知当f（0）=0时，函数f（x）为奇函数，正确．

C．由A的证明过程可知当f（）=0时，函数f（x）为偶函数，正确．

D当f2（0）+f2（）≠0时，若f（x1）=f（x2）=0，

则f（x1）=a1•sin（x1+α1）+a2•sin（x1+α2）+…+an•sin（x1+αn）=a1•sin（x2+α1）+a2•sin（x2+α2）+…+an•sin（x2+αn）=0，

∴（sinx1-sinx2）（a1cosα1+…+ancosαn）+（cosx1-cosx2）（a1sinα1+…+ansinαn）=0，

∴sinx1-sinx2=0

可得x1-x2=kπ（k∈Z）．∴D错误．

故选：D．

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题型：填空题

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填空题

若x∈（0，），y∈（0，），且tan2x=3tan（x-y），则x+y的取值范围是______．

正确答案

（0，]∪[，π）

解析

解：∵x∈（0，），y∈（0，），∴0＜x+y＜π．

设tan（x-y）=u，x-y∈（-，），则u的值域是R，

∵tan2x=3tan（x-y）=3u，

∴tan（x+y）=tan[2x-（x-y）]===，

记为 w=tan（x+y）=．

∵|w|==≤=，当且仅当|u|=时，取等号．

∴-≤tan（x+y）≤，

结合x+y∈（0，π），可得x+y的取值范围是（0，]∪[，π），

故答案为：（0，]∪[，π）．

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）求函数f（x）的值域，并写出函数f（x）的单调递增区间；

（2）若，且，计算cos2θ的值．

正确答案

解：（1）…（2分）

由于，

∴函数f（x）的值域为[-2，2]…（4分）

由得

∴函数f（x）的单调的增区间为，k∈Z…（6分）

（2）∵，…（8分）

∴，

∴…（10分）

∵，

∴=

∴…（11分）

∴…（13分）

=…（14分）

解析

解：（1）…（2分）

由于，

∴函数f（x）的值域为[-2，2]…（4分）

由得

∴函数f（x）的单调的增区间为，k∈Z…（6分）

（2）∵，…（8分）

∴，

∴…（10分）

∵，

∴=

∴…（11分）

∴…（13分）

=…（14分）

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题型：简答题

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简答题

已知函数

（1）若sinx=，求f（x）的值；

（2）求函数f（x）的最小正周期与单调增区间．

正确答案

解：（1）∵函数

=sinx-cosx

∵sinx=，

∴cosx=-

=-，

∴f（x）=×-（-）

=

（2）根据（1）得f（x）=2sin（x-），

∴f（x）的最小正周期T=2π，

令-，k∈Z，

∴-+2kπ≤x-≤+2kπ，

∴单调增区间[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z）．

解析

解：（1）∵函数

=sinx-cosx

∵sinx=，

∴cosx=-

=-，

∴f（x）=×-（-）

=

（2）根据（1）得f（x）=2sin（x-），

∴f（x）的最小正周期T=2π，

令-，k∈Z，

∴-+2kπ≤x-≤+2kπ，

∴单调增区间[-+2kπ，+2kπ]，（k∈Z）．

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin=，bsinA=asinC，c=1．

（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

正确答案

解：（Ⅰ）△ABC中，sin=，∴cos==，

∴sinB=2sincos=，cosB=1-2=，∴B为锐角．

∵bsinA=asinC，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAsinC，

∴sinC==＜sinB，故C为锐角，cosC==，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

再根据 c=1，利用正弦定理=，可得 =，求得 a=3，

故△ABC的面积为S=ac•sinB=×3×1×=．

（Ⅱ）∵cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC=-=-，

∴sinA==，cos2A=1-2sin2A=1-2×=-，

∴sin（2A+）=sin2Acos+cos2Asin=×-×=．

解析

解：（Ⅰ）△ABC中，sin=，∴cos==，

∴sinB=2sincos=，cosB=1-2=，∴B为锐角．

∵bsinA=asinC，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAsinC，

∴sinC==＜sinB，故C为锐角，cosC==，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

再根据 c=1，利用正弦定理=，可得 =，求得 a=3，

故△ABC的面积为S=ac•sinB=×3×1×=．

（Ⅱ）∵cosA=-cos（B+C）=sinBsinC-cosBcosC=-=-，

∴sinA==，cos2A=1-2sin2A=1-2×=-，

∴sin（2A+）=sin2Acos+cos2Asin=×-×=．

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题型：简答题

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简答题

已知，求cosθ及的值．

正确答案

解：∵，

∴cosθ==；

∴=sinθcos+cosθsin=×+×=．

解析

解：∵，

∴cosθ==；

∴=sinθcos+cosθsin=×+×=．

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