两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：填空题

填空题

（2015秋•重庆校级月考）已知α，β，γ∈[0，2π]且sin（α-β）=，则sin（α-γ）+cos（β-γ）的最大值为______．

正确答案

解析

解：∵α，β，γ∈[0，2π]且sin（α-γ）=sin[（α-β）+（β-γ）]=sin（α-β）cos（β-γ）+cos（α-β）sin（β-γ），

∵sin（α-β）=，∴cos（α-β）=±，∴sin（α-γ）=cos（β-γ）±sin（β-γ），

故sin（α-γ）+cos（β-γ）=cos（β-γ）±sin（β-γ）+cos（β-γ）=cos（β-γ）±sin（β-γ）

≤=，

故sin（α-γ）+cos（β-γ）=的最大值为．

题型：单选题

单选题

（2016春•邯郸校级月考）已知cosθ=-，θ∈（-π，0），则sin+cos=（　　）

B±

D-

正确答案

解析

解：∵cosθ=-，θ∈（-π，0），

∴cos2-sin2=（cos+sin）（cos-sin）＜0，∈

∴sin+cos＜0，cos-sin＞0，

∵（sin+cos）2=1+sinθ=1-=，

∴sin+cos=-．

故选D．

题型：简答题

简答题

设函数f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ-sinx（0＜φ＜π）在x=π处取最小值．

（1）求φ的值；

（2）若实数α满足f（α）+f（-α）=，α∈（，π），试求的值．

正确答案

解：（1）∵f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ-sinx，

∴f（x）=2sinx•+cosxsinφ-sinx

=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx

=sin（x+φ），

∴f（x）=sin（x+φ），

∵函数f（x）在x=π处取最小值．

且0＜φ＜π，

∴φ=．

（2）根据（1）得

f（x）=sin（x+）=cosx，

∴f（α）+f（-α）

=cosα+cos（）=，

∴sinα+cosα=，

∵

=-2sinα

∵sinα+cosα=，且α∈（，π），

∴sinα-cosα=，

∴sinα=，

∴的值为-．

解析

解：（1）∵f（x）=2sinxcos2+cosxsinφ-sinx，

∴f（x）=2sinx•+cosxsinφ-sinx

=sinx+sinxcosφ+cosxsinφ-sinx

=sin（x+φ），

∴f（x）=sin（x+φ），

∵函数f（x）在x=π处取最小值．

且0＜φ＜π，

∴φ=．

（2）根据（1）得

f（x）=sin（x+）=cosx，

∴f（α）+f（-α）

=cosα+cos（）=，

∴sinα+cosα=，

∵

=-2sinα

∵sinα+cosα=，且α∈（，π），

∴sinα-cosα=，

∴sinα=，

∴的值为-．

题型：填空题

填空题

如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A、B两点，已知A、B的横坐标分别为，则tan（α+β）的值为______．

正确答案

解析

解：由题意可得cosα=，cosβ=，

由同角三角函数基本关系可得sinα==；

sinβ==，

∴tanα==，tanβ==，

∴tan（α+β）===-

故答案为：-

题型：简答题

简答题

设△ABC的内角∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，且2cos（A-B）=1+4cos（A+C）cos（B+C）．

（1）求∠C的值；

（2）若a=5，c=7，求△ABC的面积．

正确答案

解：（1）∵在△ABC中2cos（A-B）=1+4cos（A+C）cos（B+C），

∴2cos（A-B）=1+4（-cosB）（-cosA）=1+4cosAcosB，

∴2cosAcosB+2sinAsinB=1+4cosAcosB，

∴sinAsinB-cosAcosB=，

∴cosC=-（sinAsinB-cosAcosB）=-，

∴∠C=120°；

（2）∵a=5，c=7，∠C=120°，

∴由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC，

代入数据可得49=25+b2+5b，解得b=3，或b=-8（舍去），

∴△ABC的面积S=absinC=×5×3×=

解析

解：（1）∵在△ABC中2cos（A-B）=1+4cos（A+C）cos（B+C），

∴2cos（A-B）=1+4（-cosB）（-cosA）=1+4cosAcosB，

∴2cosAcosB+2sinAsinB=1+4cosAcosB，

∴sinAsinB-cosAcosB=，

∴cosC=-（sinAsinB-cosAcosB）=-，

∴∠C=120°；

（2）∵a=5，c=7，∠C=120°，

∴由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcosC，

代入数据可得49=25+b2+5b，解得b=3，或b=-8（舍去），

∴△ABC的面积S=absinC=×5×3×=

题型：填空题

填空题

函数f（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]的单调增区间为______．

正确答案

[0，]

解析

解：∵f（x）=sinx-cosx）=2sin（x-），

由2kπ-≤x-≤2kπ+（k∈Z）得：

2kπ-≤x≤2kπ+（k∈Z）

又x∈[0，π]，

∴0≤x≤，

∴函数f（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]的单调增区间为[0，]．

故答案为：[0，]．

题型：简答题

简答题

已知，且．

（1）求cos2θ与的值；

（2）若，求ϕ的值．

正确答案

解：（1）cos2θ=cos2θ-sin2θ====．

===3；

（2）由，且．

∴sinθ=，cosθ=．

∴，

展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，

化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，

∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，

∴tanΦ=1，

∴Φ=．

解析

解：（1）cos2θ=cos2θ-sin2θ====．

===3；

（2）由，且．

∴sinθ=，cosθ=．

∴，

展开：5cosθcosΦ+5sinθsinΦ=3cosΦ，

化为：cosΦ+5××sinΦ=3cosΦ，

∴2cosΦ+sinΦ=3cosΦ，

∴tanΦ=1，

∴Φ=．

题型：填空题

填空题

若α，β都是锐角，且cosα=，sin（α一β）=，则cosβ=______．

正确答案

解析

解：∵0＜α，β，∴，

又cosα=，sin（α一β）=，

∴sinα=，cos（α一β）=．

∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

==．

故答案为：．

题型：单选题

单选题

若sin（-α）=，则cos（+2α）=（　　）

A-

C-

正确答案

解析

解：∵sin（-α）=，

∴cos（+α）=cos[-（-α）]=sin（-α）=，

∴cos（+2α）=2cos2（+α）-1=2×（）2-1=

故选：A

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x，求f（x）的最小正周期和值域．

正确答案

解：∵f（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x

=2sin（2x+）

∴函数f（x）的最小正周期T=，

值域为[-2，2]．

解析

解：∵f（x）=cos2x+2sinxcosx-sin2x

=2sin（2x+）

∴函数f（x）的最小正周期T=，

值域为[-2，2]．

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