两角和与差的正弦、余弦和正切公式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

cos47°sin13°+sin47°sin77°的值等于______．

正确答案

解析

解：cos47°sin13°+sin47°sin77°=cos47°sin13°+sin47°cos13°=sin（47°+13°）=sin60°=

故答案为

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，，则△ABC的形状是（　　）

A直角三角形

B锐角三角形

C钝角三角形

D正三角形

正确答案

D

解析

解：由余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC，

又∵，

将上两式相加得，

化为=，当且仅当a=b时取等号．

∴，

∵C∈（0，π），∴．

∴=0，解得，又a=b，

∴△ABC是正三角形．

故选D．

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题型：简答题

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简答题

设2a+1，a，2a-1为△ABC三边的长．

（1）求实数a的范围；

（2）若△ABC为钝角三角形，求实数a的取值范围．

正确答案

解：（1）∵2a+1，a，2a-1为△ABC三边的长，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，

解得 a＞2．

∴实数a的范围（2，+∞）．

（2）若△ABC为钝角三角形，由题意可得2a+1为最大边，设最大边对应的角为θ，

∴由余弦定理可得 cosθ===＜0，解得＜a＜8．

再由cosθ≠-1，即 ≠-1，解得 a≠-2．

再由（1）可得，a＞2．

综上可得 2＜a＜8，实数a的取值范围为（2，8）．

解析

解：（1）∵2a+1，a，2a-1为△ABC三边的长，∴2a+1+a＞2a-1，a+2a-1＞2a+1，2a+1+2a-1＞a，

解得 a＞2．

∴实数a的范围（2，+∞）．

（2）若△ABC为钝角三角形，由题意可得2a+1为最大边，设最大边对应的角为θ，

∴由余弦定理可得 cosθ===＜0，解得＜a＜8．

再由cosθ≠-1，即 ≠-1，解得 a≠-2．

再由（1）可得，a＞2．

综上可得 2＜a＜8，实数a的取值范围为（2，8）．

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题型：填空题

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填空题

下列说法

①存在α，β使得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ不成立

②对任意α都存在β使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立

③存在α使得cos（α+β）=cosαcosβ+sinαsinβ对任意β不成立

正确序号为______．（把所有正确说法序号都填上）

正确答案

②

解析

解：对于①对任意的α，β，根据两角和的余弦公式，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ必定成立，

故不存在α，β使得cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ不成立

对于②，对任意α都存在β=0，使得cos（α+β）=cosα=cosαcos0+sinαsin0成立

所以②是真命题；

对于③，因为cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，所以对任意β，只要α=0，

即可使得cos（α+β）=cosβ=cos0cosβ+sin0sinβ成立，所以③不成立，命题不正确．

故答案为：②

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题型：简答题

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简答题

已知=（sinωx，cosωx），=（cosωx，cosωx）．设f（x）=•+且它的最小正周期为π．

（1）求ω的值；

（2）当x∈（0，）时，求函数f（x）的值域．

正确答案

解：（1）由题知

==，

∵函数f（x）的最小正周期为π，

∴T==π，解得ω=1；

（2）由（1）知ω=1，∴f（x）=sin（2x+）+2，

∵x∈（0，），∴＜2x+＜，

∴，

∴函数f（x）在上的值域是．

解析

解：（1）由题知

==，

∵函数f（x）的最小正周期为π，

∴T==π，解得ω=1；

（2）由（1）知ω=1，∴f（x）=sin（2x+）+2，

∵x∈（0，），∴＜2x+＜，

∴，

∴函数f（x）在上的值域是．

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题型：简答题

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简答题

将正弦函数f1（x）=sinx与余弦函数f2（x）=cosx线性组合成函数f（x）=Af1（x）+Bf2（x）（A，B是常数，x∈R），函数f（x）的图象称（A，B）曲线．

（1）若（A，B）曲线与（C，D）曲线重合，求证：A=C，B=D；

（2）已知点P1（x1，y1）与点P2（x2，y2）且x1-x2≠kπ（k∈z），求证：经过点P1与点P2的（A，B）曲线有且仅有一条．

正确答案

证明：（1）∵Asinx+Bcosx=Csinx+Dcosx对任意x∈R都成立，

不妨取x=，代入上式可得A=C，同理取x=0代入可得B=D，

∴A=C，B=D；

（2）假设（A，B）曲线经过P1（x1，y1）与点P2（x2，y2），

则Asinx1+Bcosx1=y1，①，Asinx2+Bcosx2=y2，②，

①×cosx2-②×cosx1可得Asin（x1-x2）=y1cosx2-y2cosx1，

∵x1-x2≠kπ（k∈z），∴Asin（x1-x2）≠0，

∴A=，同理可得B=，

∴A、B由P1与点P2的坐标唯一确定，即经过点P1与点P2的（A，B）曲线有且仅有一条

解析

证明：（1）∵Asinx+Bcosx=Csinx+Dcosx对任意x∈R都成立，

不妨取x=，代入上式可得A=C，同理取x=0代入可得B=D，

∴A=C，B=D；

（2）假设（A，B）曲线经过P1（x1，y1）与点P2（x2，y2），

则Asinx1+Bcosx1=y1，①，Asinx2+Bcosx2=y2，②，

①×cosx2-②×cosx1可得Asin（x1-x2）=y1cosx2-y2cosx1，

∵x1-x2≠kπ（k∈z），∴Asin（x1-x2）≠0，

∴A=，同理可得B=，

∴A、B由P1与点P2的坐标唯一确定，即经过点P1与点P2的（A，B）曲线有且仅有一条

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=2cos2（ωx+φ）-2sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）（ω＞0.0＜φ＜）其图象的两个相邻对称中心的距离为，且过点（-，2）．

（Ⅰ）函数f（x）的达式；

（Ⅱ）若f（-）=，α是第三象限角，求cosα的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=2cos2（ωx+φ）-2sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）

=cos（ωx+φ）-sin（ωx+φ）+1

=，

由图象的两个相邻对称中心的距离为得，函数的周期T=π，

所以，得ω=2，

又过点（-，2），则=2，

化简得，cosφ=，

由0＜φ＜得，φ=，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=，

化简得，，

因为α是第三象限角，且＜0，

则角是第三象限，

所以sin（）=-=-，

所以cosα=cos[（）-]=cos（）cos+sin（）sin

==．

解析

解：（Ⅰ）由题意得，f（x）=2cos2（ωx+φ）-2sin（ωx+φ）cos（ωx+φ）

=cos（ωx+φ）-sin（ωx+φ）+1

=，

由图象的两个相邻对称中心的距离为得，函数的周期T=π，

所以，得ω=2，

又过点（-，2），则=2，

化简得，cosφ=，

由0＜φ＜得，φ=，

所以；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，=，

化简得，，

因为α是第三象限角，且＜0，

则角是第三象限，

所以sin（）=-=-，

所以cosα=cos[（）-]=cos（）cos+sin（）sin

==．

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题型：填空题

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填空题

已知3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，α，β∈（0，），则α+2β=______．

正确答案

π

解析

解：∵3sinα=2sinβ，3cosα+2cosβ=3，

∴sinα=sinβ，cosα=，

两式平方相加可得1=sin2α+cos2α=cos2β+，

结合α，β∈（0，）可解得cosβ=，

∴sinβ==，

∴sinα=sinβ=，cosα==，

∴sin2β=2sinβcosβ=，cos2β=2cos2β-1=-，

∴sin（α+2β）=sinαcos2β+cosαsin2β

=+=0，

∵α，β∈（0，），∴α+2β∈（0，），

∴α+2β=π，

故答案为：π．

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题型：简答题

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简答题

设函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的周期为π．

（1）求它的振幅、初相；

（2）求f（x）的单调增区间．

正确答案

解：（1）∵函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），它的最小正周期等于 =π，∴ω=2．

它的振幅为2，它的初相是．

（2）由于函数f（x）=2sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．

故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+，]，k∈z．

解析

解：（1）∵函数f（x）=sinωx+cosωx=2sin（ωx+），它的最小正周期等于 =π，∴ω=2．

它的振幅为2，它的初相是．

（2）由于函数f（x）=2sin（2x+），令2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ+，k∈z．

故f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+，]，k∈z．

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题型：简答题

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简答题

已知函数f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cos+1

（1）若x∈[0，]求f（x）的值域；

（2）△ABC 中，角 A，B，C 的对边为 a，b，c，若f（B+）=1，b=1，c=，求a的值．

正确答案

解：（1）f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cos+1=sinx+cos+1=2sin（x+）+1．

∵x∈[0，]，∴x+∈，

∴sin（x+）∈[，1]，∴f（x）∈[2，3]；

（2）∵f（B+）=1，∴2sin（B+）+1=1，∴sin（B+）=0，∴B=，

∴，∴a2-3a+2=0，

∴a=1或a=2．

解析

解：（1）f（x）=sin（x+）+sin（x-）+cos+1=sinx+cos+1=2sin（x+）+1．

∵x∈[0，]，∴x+∈，

∴sin（x+）∈[，1]，∴f（x）∈[2，3]；

（2）∵f（B+）=1，∴2sin（B+）+1=1，∴sin（B+）=0，∴B=，

∴，∴a2-3a+2=0，

∴a=1或a=2．

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