两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

已知λ∈R，函数f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos2（-x），且f（-）=f（0），求函数f（x）的单调增区间．

正确答案

解：函数f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos2（-x），

即有f（x）=λsinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x，

由于f（-）=f（0），则sin（-）-cos（-）=0-1，

即有-λ=-，解得，λ=2．

则f（x）=sin2x-cos2x=2（sin2x-cos2x）=2sin（2x-），

由2k，k∈Z，

解得，kπ-≤x≤kπ+，

则f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

解析

解：函数f（x）=cosx（λsinx-cosx）+cos2（-x），

即有f（x）=λsinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x，

由于f（-）=f（0），则sin（-）-cos（-）=0-1，

即有-λ=-，解得，λ=2．

则f（x）=sin2x-cos2x=2（sin2x-cos2x）=2sin（2x-），

由2k，k∈Z，

解得，kπ-≤x≤kπ+，

则f（x）的单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

题型：单选题

单选题

tan20°+tan40°+tan20°•tan40°的值是（　　）

B-

D-

正确答案

解析

解：tan20°+tan40°+tan20°•tan40°

=tan（20°+40°）[1-tan20°tan40°]+tan20°•tan40°

=[1-tan20°tan40°]+tan20°•tan40°

=-tan20°•tan40°+tan20°•tan40°

故选A

题型：填空题

填空题

已知在△ABC中，，则此三角形为______．

正确答案

等腰三角形

解析

解：∵

由正弦定理可得

∴sinCcosB=sinBcosC

∴sinCcosB-sinBcosC=0

∴sin（C-B）=0

∴C=B

∴△ABC为等腰三角形

故答案为：等腰三角形

题型：简答题

简答题

已知tan（x-y）=，tanx•tany=t-1，tan2（x+y）=4，求实数t的值．

正确答案

解：∵tan（x-y）=，tanx•tany=t-1，

∴tan（x-y）====，

∴tanx-tany=t-2．

∵tan2（x+y）=4，

∴tan2（x+y）====4，

即3（t-2）2+4（t-1）=0，

∴3t2-16t+16=0，

解得t=4或t=．

解析

解：∵tan（x-y）=，tanx•tany=t-1，

∴tan（x-y）====，

∴tanx-tany=t-2．

∵tan2（x+y）=4，

∴tan2（x+y）====4，

即3（t-2）2+4（t-1）=0，

∴3t2-16t+16=0，

解得t=4或t=．

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinωxcosωx-cos2ωx（ω＞0）的周期为．

（1）求ω的值和f（x）的单调递增区间；

（2）设△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，求此时函数f（x）的值域．

正确答案

解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx-cos2ωx=sin2ωx-=sin（2ωx-）-，

其周期T==，

∴ω=2，

∴f（x）=sin（4x-）-；

由-+2kπ≤4x-≤+2kπ（k∈Z）得：-≤x≤+（k∈Z），

∴f（x）的单调递增区间为[-，+]（k∈Z）；

（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，

∴b2=ac，又由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosx≥2ac-2accosx（当且仅当a=c时取等号），

∴ac≥2ac-2accosx，

∴cosx≥，由x∈（0，π），

∴0＜x≤，-＜4x-≤，

∴-sin（4x-）≤1，-1≤sin（4x-）-≤；

∴函数f（x）的值域为[-1，]．

解析

解：（1）∵f（x）=sinωxcosωx-cos2ωx=sin2ωx-=sin（2ωx-）-，

其周期T==，

∴ω=2，

∴f（x）=sin（4x-）-；

由-+2kπ≤4x-≤+2kπ（k∈Z）得：-≤x≤+（k∈Z），

∴f（x）的单调递增区间为[-，+]（k∈Z）；

（2）∵△ABC的三边a，b，c成等比数列，且边b所对的角为x，

∴b2=ac，又由余弦定理得：b2=a2+c2-2accosx≥2ac-2accosx（当且仅当a=c时取等号），

∴ac≥2ac-2accosx，

∴cosx≥，由x∈（0，π），

∴0＜x≤，-＜4x-≤，

∴-sin（4x-）≤1，-1≤sin（4x-）-≤；

∴函数f（x）的值域为[-1，]．

题型：单选题

单选题

已知等于（　　）

D-7

正确答案

解析

解：由，得到sinα==，

所以tanα==-，

则tan（）===-7．

故选D

题型：单选题

单选题

已知cos2α+sinα（2sinα-1）=，α∈（，π），则tan（）的值为（　　）

正确答案

解析

解：∵cos2α+sinα（2sinα-1）=，

∴1-2sin2α+2sin2α-sinα=，

解得sinα=，又α∈（，π），

∴cosα==-，

∴tanα==，

∴tan（）==

故选：A

题型：单选题

单选题

（sin22.5°+cos22.5°）2的值为（　　）

正确答案

解析

解：（sin22.5°+cos22.5°）2=sin222.5°+2sin22.5°cos22.5°+cos222.5°

∵2sin22.5°cos22.5°=sin45°=，sin222.5°+cos222.5°=1

∴（sin22.5°+cos22.5°）2=1+

故选B

题型：填空题

填空题

已知α为第二象限角，，则cos2α=______．

正确答案

解析

解：∵，两边平方得：1+sin2α=，

∴sin2α=-，①

∴（sinα-cosα）2=1-sin2α=，

∵α为第二象限角，

∴sinα＞0，cosα＜0，

∴sinα-cosα=，②

∴cos2α=-（sinα-cosα）（sinα+cosα）

=（-）×

=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，∠BAD=30°，AB=4，AC=2，点D在BC上，且BC=2BD

（1）求BC的长；

（2）求tan（B+60°）的值．

正确答案

解：（1）由题意可得D为BC中点，延长AD至E使DE=AD，

连接BE、CE，则四边形ABEC为平行四边形，BE=AC=2，

在△ABE中，由正弦定理可得sin∠AEB==1，

∴∠AEB=90°，由勾股定理可得AE==2，

∴在△ABD中由余弦定理可得BD2=42+（）2-2×4××=7，

∴BC=BD=2；

（2）在△ABD中由余弦定理可得cosB==，

由同角三角函数基本关系可得tanB=，

∴tan（B+60°）==3．

解析

解：（1）由题意可得D为BC中点，延长AD至E使DE=AD，

连接BE、CE，则四边形ABEC为平行四边形，BE=AC=2，

在△ABE中，由正弦定理可得sin∠AEB==1，

∴∠AEB=90°，由勾股定理可得AE==2，

∴在△ABD中由余弦定理可得BD2=42+（）2-2×4××=7，

∴BC=BD=2；

（2）在△ABD中由余弦定理可得cosB==，

由同角三角函数基本关系可得tanB=，

∴tan（B+60°）==3．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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