两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

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题型：单选题

单选题

已知sinα-cosα=sinα•cosα，则sin2α的值为（　　）

A2-2

B1-

C2-2

D-1

正确答案

解析

解：∵sinα-cosα=sinα•cosα，

∴（sinα-cosα）2=1-2sinα•cosα=sin2α•cos2α

求得sinα•cosα=-1±

∵-≤sinα•cosα≤

∴sinα•cosα=-1

∴sin2α=2sinα•cosα=2-2

故选A

题型：简答题

简答题

已知sin+cos=．

（Ⅰ）求sinα的值；

（Ⅱ）若sin（α-β）=-，α∈（，π），β∈（π，），求cosβ的值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵sin+cos=，

∴两边平方可得1+2sincos=，

∴sinα=2sincos=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）sinα=，又α∈（，π），

∴cosα=-=-，∴α=

又∵β∈（π，），∴-＜-β＜-π，

∴-＜α-β＜，

又∵sin（α-β）=-，∴cos（α-β）=，

∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

==-

解析

解：（Ⅰ）∵sin+cos=，

∴两边平方可得1+2sincos=，

∴sinα=2sincos=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）sinα=，又α∈（，π），

∴cosα=-=-，∴α=

又∵β∈（π，），∴-＜-β＜-π，

∴-＜α-β＜，

又∵sin（α-β）=-，∴cos（α-β）=，

∴cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）

==-

题型：填空题

填空题

已知sin（α+）=，α∈（，），则cosα=______．

正确答案

解析

解：∵sin（α+）=，α∈（，），

∴α+∈（，），

∴cos（α+）=-=-，

∴cosα=cos[（α+）-]=cos（α+）+sin（α+）

=-=

故答案为：

题型：单选题

单选题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，，，则△ABC是（　　）

A锐角三角形

B等边三角形

C直角三角形

D直角或等边三角形

正确答案

解析

解：在△ABC中，∵∠A=，b+c=a，故∠B+∠C=

∴由正弦定理===2R得，sin∠B+sin∠C=sin∠A=，

∴2sin•cos=，而∠B+∠C=，

∴cos=，又0＜∠B，∠C＜，

∴-＜＜，

∴=或=-，又∠B+∠C=，

∴∠B=或∠C=．

∴△ABC为直角三角形．

故选C．

题型：简答题

简答题

已知2cosα+sinα=．

（Ⅰ）求sinα的值；

（Ⅱ）若cos（α+β）=，α，β均为锐角，求

（i）cosβ的值；（ii）2α+β的值．

正确答案

解：（Ⅰ）由2cosα+sinα=，得到sinα=-2cosα ①，

把①代入sin2α+cos2α=1，得：（-2cosα）2+cos2α=1，

整理得：5cos2α-4cosα+4=0，

即（cosα-2）2=0，

解得：cosα=，

则sinα=-2×=．

（Ⅱ）∵cos（α+β）=，α，β均为锐角，

∴sin（α+β）==，

则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=．

cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=×-×=．

∵α，β均为锐角，cosα=＞，∴0＜α＜，

∵cos（α+β）=∈（，0），

∴＜α+β＜π，

∴＜2α+β＜π，

则2α+β=．

解析

解：（Ⅰ）由2cosα+sinα=，得到sinα=-2cosα ①，

把①代入sin2α+cos2α=1，得：（-2cosα）2+cos2α=1，

整理得：5cos2α-4cosα+4=0，

即（cosα-2）2=0，

解得：cosα=，

则sinα=-2×=．

（Ⅱ）∵cos（α+β）=，α，β均为锐角，

∴sin（α+β）==，

则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=×+×=．

cos（2α+β）=cos[（α+β）+α]=cos（α+β）cosα-sin（α+β）sinα=×-×=．

∵α，β均为锐角，cosα=＞，∴0＜α＜，

∵cos（α+β）=∈（，0），

∴＜α+β＜π，

∴＜2α+β＜π，

则2α+β=．

题型：简答题

简答题

已知向量=（2sinx，sinx），=（sinx，2cosx），函数f（x）=•．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosB=bcosC+ccosB，若对任意满足条件的A，不等式f（A）＞m恒成立，求实数m的取值范围．

正确答案

解：（Ⅰ）函数f（x）=•=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=2sin（2x-）+1，

令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）在△ABC中，根据2acosB=bcosC+ccosB，

由正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，

∴cosB=，∴B=，∴0＜A＜，∴2A-∈（-，），

∴sin（2A-）∈（-，1]，2sin（2A-）+1∈（0，3]．

∵不等式f（A）=2sin（2A-）+1＞m恒成立，故f（A）的最小值大于m．

而f（A）＞0恒成立，故m≤0．

解析

解：（Ⅰ）函数f（x）=•=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=2sin（2x-）+1，

令2kπ-≤2x-≤2kπ+，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数f（x）的增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（Ⅱ）在△ABC中，根据2acosB=bcosC+ccosB，

由正弦定理可得2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）=sinA，

∴cosB=，∴B=，∴0＜A＜，∴2A-∈（-，），

∴sin（2A-）∈（-，1]，2sin（2A-）+1∈（0，3]．

∵不等式f（A）=2sin（2A-）+1＞m恒成立，故f（A）的最小值大于m．

而f（A）＞0恒成立，故m≤0．

题型：单选题

单选题

在△ABC中，若，则△ABC是（　　）

A直角三角形

B等腰三角形

C等腰直角三角形

D等腰或直角三角形

正确答案

解析

解：∵，∴c（cosA+2cosC）=b（cosA+2cosB）

由正弦定理，得sinC（cosA+2cosC）=sinB（cosA+2cosB）

即cosA（sinB-sinC）=sin2C-sin2B=2cos（B+C）sin（C-B）

∵cos（B+C）=-cosA

∴cosA（sinB-sinC）=2cosAsin（B-C），移项得cosA[2sin（B-C）-（sinB-sinC）]=0

∴cosA=0或2sin（B-C）=sinB-sinC

①当cosA=0时，A=，可得△ABC是直角三角形；

②若2sin（B-C）=sinB-sinC，

化简得sin（2cos-cos）=0，

∵2cos-cos≠0，

∴sin=0，可得B-C=0，得B=C，△ABC是等腰三角形

综上所述，△ABC是等腰三角形或直角三角形

故选：D

题型：简答题

简答题

已知sinβ=2sin（2α+β）．

（Ⅰ）若，求tanβ的值；

（Ⅱ）若，求tanα的值．

正确答案

解：（Ⅰ）∵，得sin（2α+β）=sin（+β）

∴由sin（+β）=cosβ，可得sinβ=2cosβ．

两边都除以cosβ，得tanβ=2．

（Ⅱ）∵sinβ=sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，

∴将代入，得，

展开，得=

化简得sincosα=-3cossinα，即cosα=-sinα，

两边都除以cosα，得．

解析

解：（Ⅰ）∵，得sin（2α+β）=sin（+β）

∴由sin（+β）=cosβ，可得sinβ=2cosβ．

两边都除以cosβ，得tanβ=2．

（Ⅱ）∵sinβ=sin[（α+β）-α]=2sin[（α+β）+α]，

∴将代入，得，

展开，得=

化简得sincosα=-3cossinα，即cosα=-sinα，

两边都除以cosα，得．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c，不等式x2cosC+4xsinC+6≥0对一切实数x恒成立．

（Ⅰ）求cosC的取值范围；

（Ⅱ）当∠C取最大值，且c=2时，求△ABC面积的最大值并指出取最大值时△ABC的形状．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得：，

∴，或cosC≤-2（{舍去}）．∴．

（Ⅱ）∵，∴当∠C取最大值时，．

由余弦定理得：22=a2+b2-2ab•cos⇒4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，

∴，当且仅当a=b时取等号，此时，

由可得△ABC为等边三角形．

解析

解：（Ⅰ）由已知得：，

∴，或cosC≤-2（{舍去}）．∴．

（Ⅱ）∵，∴当∠C取最大值时，．

由余弦定理得：22=a2+b2-2ab•cos⇒4=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab，

∴，当且仅当a=b时取等号，此时，

由可得△ABC为等边三角形．

题型：简答题

简答题

已知在△ABC中，内角∠A、∠B、∠C所对边的长分别为a、b、c，cos=，求cosB．

正确答案

解：cosB=-cos（A+C）=-2cos2+1=-2×+1=．

解析

解：cosB=-cos（A+C）=-2cos2+1=-2×+1=．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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