两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：简答题

简答题

设函数f(x)=•，其中向量=(，-1)，=(sinx，cosx)，x∈R

（1）求使f（x）取得最大值时，向量和的夹角；

（2）若A={x|f（x）≥1}，B={x|-π≤x≤π}，求A∩B；

（3）若x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，求证；存在x0∈{A，B，C}，使得f（x0）≤1．

正确答案

∵=(，-1)，=(sinx，cosx)

∴f（x）=•=sinx-cosx=2sin(x-)

（1）当sin(x-) =1

即x-=2kπ+，即x=2kπ+(k∈Z)时，f（x）取得最大值

此时=(，-)

∴cos＜，＞ ===1

∴＜，＞ =0

（2）由f（x）≥1，得sin(x-) ≥

∴2kπ+≤x-≤ 2kπ+ (k∈Z)

∴2kπ+≤x≤ 2kπ+π (k∈Z)

∴A={x|2kπ+≤x≤2kπ+π，k∈Z}

又B={x|-π≤x≤π}

∴A∩B=[，π]

证明：（3）∵x∈{A，B，C}，且A，B，C是某个锐角三角形的三个内角，且A+B+C=π

设A、B、C中的最小角x0∈{A，B，C}

∴0＜x0＜

∴-＜x0-≤

∴f(x0) =2sin(x0-) ≤2×=1

∴存在x0∈{A，B，C}，使得f（x0）≤1

题型：填空题

填空题

下列命题：

①命题p：x0∈[-1，1]，满足x02+x0+1>a，使命题p为真的实数a的取值范围是a<3；

②代数式sinx+sin（π+x）+sin（π+x）的值与x无关；

③

④已知数列{an}满足：a1=m，a2=n，an+2=an+1-an（n∈N*），记Sn=a1+a2+a3+...+an则S2011=m；

其中正确的命题的序号是（）。

正确答案

①④

题型：填空题

填空题

下列命题：

①命题p：∈[﹣1，1]，满足++1＞a，使命题P为真的实数a的取值范围为a＜3；

②代数式sin+sin（+）+sin（+）的值与角a有关；

③将函数f（x）=2sin（2x﹣）的图象向左平移个单位长度后得到的图象所对应的函数是奇函数；

④命题“x∈R，x2+x﹣1＜0”的否定是“x∈R，x2+x﹣1＞0”；

其中正确的命题的序号是（）（把所有正确的命题序号写在横线上）．

正确答案

①

题型：简答题

简答题

已知a，x∈R，函数f(x)=sin2x-(2+a)sin(x+)-．

（1）设t=sinx+cosx，把函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）表达式和定义域；

（2）对任意x∈[0，]，函数f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范围．

正确答案

（1）∵t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-，]，

又t2=sin2x+cos2x+2sinxcosx，

∴sinxcosx=．

∵f(x)=2sinxcosx-(2+a)(sinx+cosx)-．

∴f(x)=g(t)=t2-(2+a)t--1，定义域：[-，0)∪(0，]．

（2）∵x∈[0，]，∴t=sinx+cosx=sin(x+)∈[1，]，

∵函数f（x）＞-3-2a恒成立，∴t2-(2+a)t--1＞-3-2a恒成立，

得：t2-2t-+2＞(t-2)a，

∵t-2＜0，∴a＞-=t+=p(t)，

设1≤t1≤t2≤，∵p(t2)-p(t1)=(t2-t1)()＜0，

∴函数p（t）在[1，]上是递减函数，

∴a＞pmax（x）=p（1）=3．

题型：简答题

简答题

如图，在半径为、圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y，

（1）按下列要求写出函数的关系式：

①设PN=x，将y表示成x的函数关系式；

②设∠POB=x，将y表示成x的函数关系式；

（2）请你选用（1）中的一个函数关系式，求出y的最大值。

正确答案

解：（1）①ON=，OM=x，MN=，

∴，x∈（0，）；

②，，

∴MN=ON-OM=，

∴，

即。

（2）选择，

∴。

题型：简答题

简答题

（1）求函数的定义域；

（2）若，求的值。

正确答案

解：（1）由题意可知解得得：

故函数的定义域为.

（2）因为=

题型：填空题

填空题

函数f（x）=+的值域为______．

正确答案

由，得3≤x≤4，所以函数的定义域[3，4]．

所以x-3∈[0，1]，令x-3=sin2θ（θ∈[0，]），

则数f（x）=+=+

=+=sinθ+cosθ=2sin(θ+)

因为θ∈[0，]，所以θ+∈[，]，所以2sin(θ+)∈[1，2]

所以函数f（x）=+的值域为[1，2]．

故答案为[1，2]．

题型：简答题

简答题

已知函数在定义域（-∞，4]上为减函数，且f(m-sinx)≤f(-+cos2x)对于任意的x∈R成立，求m的取值范围．

正确答案

由题意可得成恒成立

即对x∈R恒成立．

故或m=-．

∴≤m≤3或m=-．

题型：填空题

填空题

给出下列四个函数：①y=sinx+cosx；②y=sinx-cosx；③y=sinx•cosx；

④y=．其中在(0，)上既无最大值又无最小值的函数是______．（写出全部正确结论的序号）

正确答案

①y=sinx+cosx=sin(x+)，x∈(0，)，x+∈ (，)，y∈(，1]，有最大值1；

②y=sinx-cosx=sin(x+)，x-∈ (-，)，y∈(-，)，无最大和最小值；

③y=sinx•cosx=sin2x∈(0，]，有最大值；

④y=表示单位圆上的点与原点连线的斜率的范围，属于R，无最大和最小值．

故答案为：②④

题型：简答题

简答题

己知向量a=(2sin，1-cos)，b=(cos，1+cos)，函数f(x)=log12（a•b）．

（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和值域；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

正确答案

（Ⅰ）∵•=2sincos+(1-cos)(1+cos)=sinx+1-2cos2

=sinx-cosx=sin(x-)．

由sin(x-)＞0，

得2kπ＜x-＜2kπ+π，

即2kπ+＜x＜2kπ+，k∈Z．

∴f（x）的定义域是(2kπ+，2kπ+)，k∈Z．

∵0＜sin(x-)≤，则f(x)≥log12=-，

∴f（x）的值域是[-，+∞)．

（Ⅱ）由题设f(x)=log12sin(x-)．

若f（x）为增函数，则y=sin(x-)为减函数，

∴2kπ+≤x-＜2kπ+π，

即2kπ+≤x＜2kπ+，

∴f（x）的递增区间是[2kπ+，2kπ+)，k∈Z．

若f（x）为减函数，则y=sin(x-)为增函数，

∴2kπ＜x-≤2kπ+，即2kπ+＜x≤2kπ+，

∴f（x）的递减区间是(2kπ+，2kπ+]，k∈Z．

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