两角和与差的正弦、余弦和正切公式
共11991题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式
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题型：填空题

填空题

函数y=cos2x+2sinx的最大值是（）。

正确答案

题型：简答题

简答题

已知f(x)=-2cos2x-2sinx+2定义域为R．

（1）求f（x）的值域；

（2）在区间[-，]上，f（α）=3，求sin(2α+)）．

正确答案

（1）∵f(x)=-2(1-sin2x)-2sinx+2=2(sinx-)2-1

∵x∈R，

∴sinx∈[-1，1]

根据二次函数的性质知函数在闭区间上的范围是[-1，2+2]

∴函数的值域[-1，2+2]

（2）由（1）得，f(α)=2(sinα-)2-1=3

∴(sinα-)2=2，

又∵α∈[-，]，

∴α=-

∴sin(2α+)=sin(-+)=sin(-)=-

题型：简答题

简答题

求函数y=sin2x-2sinx+2cosx的最大值和最小值，并指出当x取何值时，函数取得最值．

正确答案

设t=sinx-cosx=sin(x-)，…（2分）

则t∈[- ，]，

sin2x=2sinxcosx=1-t2．…（6分）

∴y=sin2x-2sinx+2cosx

=1-t2-2t

=-（t+1）2+2．…（8分）

∴当t=时，即x=2kπ+，k∈Z时，y取得最小值为-1-2；…（11分）

当t=1时，即x=2kπ或2kπ-时，y取得最大值为2．…（14分）

题型：填空题

填空题

已知关于x的一元二次方程mx2+（2m-3）x+（m-2）=0的两根分别是tanα，tanβ．求tan（α+β）的取值范围．

正确答案

由题意，可得

解得m≤且m≠0．　　

由韦达定理有tanα+tanβ=-，tanαtanβ=

∴tan(α+β)==-m+，

又m≤且m≠0，从而求得tan（α+β）的取值范围是[-，)∪(，+∞)．

题型：简答题

简答题

（1）求值：6413-(-)0++lg2+lg50+21+log23；

（2）求值：．

正确答案

（1）6413-(-

)0++lg2+lg50+21+log23=(43)13-1+(53)13+lg（2×50）+2×2log23=4-1+5+2+2×3=16．

（2）===．

题型：填空题

填空题

给出下列五个命题：

①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则ϕ=2kπ+，k∈Z；

②函数f(x)=cos2x-2sinxcosx在区间[-，]上是单调递增；

③已知a，b∈R，则“a＞b＞0”是“()a＜()b”的充分不必要条件；

④若xlog34=1，则4x+4-x=；

⑤在△ABC中，若tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC必为锐角三角形．

其中正确命题的序号是______（写出所有正确命题的序号）．

正确答案

①若f（x）=sin（2x+φ）是偶函数，则由偶函数的性质可得对称轴为y轴且该点取得函数的最值，则f（0）=±1，代入可得，φ=kπ+，k∈Z故①错误

②函数f(x)=cos2x-2sinxcosx=cos2x-sin2x=2cos(2x+)，在区间[-，]上是单调递减，故②错误

③a＞b＞0⇒()a＜()b，但由()a＜()b只可得a＞b，即a＞b＞0是()a＜()b的充分不必要条件，故③正确

④由xlog34=1⇒x=log43，则4x+4-x=4log43+=3+=，故④正确

⑤由三角形的内角和定理可知，三角形的内角最多有一个钝角，故可设A，B为锐角，tanA＞0，tanB＞0

利用内角和公式可把tanA+tanB+tanC＞0⇒tanA+tanB-tan（A+B）＞0，利用两角和的正切公式展开整理可得tanAtanB＞1，则可得tanA＞cotB=tan（(-B)，则有A＞π-B，所以有A+B＞，从而可得C＜故⑤正确

故答案为：③④⑤

题型：简答题

简答题

化简：

（1）mtan0°+xcos90°-psin180°-qcos270°-rsin360°

（2）tan20°+tan40°+tan20°tan40°

（3）log2cos+log2cos+log2cos．

正确答案

（1）mtan0°+xcos90°-psin180°-qcos270°-rsin360°=0

（2）tan20°+tan40°+tan20°tan40°

=tan60°（1-tan20°tan40°）+tan20°tan40°

=-tan20°tan40°+tan20°tan40°

（3）cos•cos•cos=====

log2cos+log2cos+log2cos=log2（cos•cos•cos）=log2=-3

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数

（1）求函数F（x）=f（x）•f′（x）+f2（x）的最小正周期；

（2）若f（x）=2f′（x），求的值．

正确答案

（1）∵f'（x）=cosx-sinx，

∴f'（x）=cosx-sinx=-sin（x+），

F（x）=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），

所以F（x）的最小正周期为T=π

（2）由于f（x）=2f′（x），则sinx+cosx=2（cosx-sinx）

故3sinx=cosx

即tanx=

原式===

题型：简答题

简答题

设函数f(x)=sinx+cosx•sinφ-2sinx•sin2(|φ|＜)在x=处取得极大值．

（Ⅰ）求φ的值；

（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是A，B，C的对边且a=1，b=，f(A)=，求A．

正确答案

（Ⅰ）f（x）=sinx+cosx•sinφ-sinx•（1-cosφ）=cosx•sinφ+sinx•cosφ=sin（x+φ）

由f()=1，可得sin(φ+)=1

∵|φ|＜，∴φ=

（Ⅱ）由f(A)=，可得sin(A+)=

∵a=1＜b=

∴0＜A＜

∴＜A+＜

∴A+=

∴A=

题型：简答题

简答题

计算：（1）log2.56.25+lg0.01+ln+2 1+log23；

（2）已知α为第二象限角，且sinα=，求的值．

正确答案

（1）原式=log2.52.52+lg10-2+lne12+ 2log26=2-2++6=6

（2）∵α为第二象限角，且sinα=∴cosα=-

原式=====-2

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