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题型:简答题
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简答题 · 14 分

,其中

(1)当时,求函数在区间上的最大值;

(2)当时,若恒成立,求的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)当时,

,∴当时,

∴函数上单调递增,

(2)①当时,

,∴f(x)在上增函数,

故当时,

②当时,

(i)当时,在区间上为增函数,

时,,且此时

(ii)当,即时,在区间上为减函数,在区间上为增函数,

故当时,,且此时

(iii)当,即时,在区间[1,e]上为减函数,

故当时,.

综上所述,函数的在上的最小值为

;由得无解;由得无解;

故所求的取值范围是

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值不等式恒成立问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数f(x)=-x3+ax2-4(),是f(x)的导函数。

(1)当a=2时,对于任意的m[-1,1],n[-1,1],求f(m)+的最小值;

(2)若存在,使>0,求a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)由题意知

在[-1,1]上变化时,的变化情况如下表:

的最小值为

的对称轴为,且抛物线开口向下,

的最小值为

的最小值为-11.

(2).

①若,上单调递减,

②若

从而上单调递增,在上单调递减,

.

根据题意,

综上,的取值范围是

(或由,用两种方法可解)

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数图像上的点处的切线方程为

(1)若函数时有极值,求的表达式

(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

解:,    --

∵函数处的切线斜率为-3,∴,即

(1)函数时有极值,所以

解得,-

所以

(2)因为函数在区间上单调递增,所以导函数

在区间上的值恒大于或等于零,

,所以实数的取值范围为

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数

(1)若,试确定函数的单调区间;

(2)若,且对于任意恒成立,试确定实数的取值范围;

(3)设函数,求证:

正确答案

见解析。

解析

(1)由,所以

,故的单调递增区间是

,故的单调递减区间是

(2)由可知是偶函数。

于是对任意成立等价于对任意成立。

①当时,,此时上单调递增,故,符合题意;

②当时,

变化时,的变化情况如下表:

由此可得,在上,

依题意,,又

综合①②得,实数的取值范围是

由此得,

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值不等式恒成立问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数.

(1) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;

(2)证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.

(3)设a<b, 比较的大小, 并说明理由.

正确答案

见解析

解析

(1)  f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.

.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1

(2) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下。

因此,

所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)

(3)设

,且

所以

知识点

反函数导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设函数的导函数为,对任意都有成立,则(  )

A

B

C

D的大小不确定

正确答案

C

解析

知识点

导数的运算利用导数研究函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

设函数.

(1)若函数在区间(-2,0)内恰有两个零点,求a的取值范围;

(2)当a=1时,求函数在区间[t,t+3]上的最大值.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵

,解得

当x变化时,的变化情况如下表:

故函数的单调递增区间为(-∞,-1),(a,+∞);单调递减区间为(-1,a);

因此在区间(-2,-1)内单调递增,在区间(-1,0)内单调递减,要使函数在区间内恰有两个零点,当且仅当

解得, 所以a的取值范围是(0,).

(2)当a=1时,. 由(1)可知,函数的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);单调递减区间为(-1,1);.

①当t+3<-1,即t<-4时,

因为在区间[t,t+3]上单调递增,所以在区间[t,t+3]上的最大值为

②当,即时,

因为在区间上单调递增,在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,且,所以在区间上的最大值为.

,即时,有[t,t+3] ,-1[t,t+3],所以上的最大值为

③当t+3>2,即t>-1时,

由②得在区间上的最大值为. 因为在区间(1,+∞)上单调递增,所以,故上的最大值为.

综上所述,当a=1时,

在[t,t+3]上的最大值.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

正确答案

见解析。

解析

结合①可知

所以,x1=是极小值点,x2=是极大值点。

(2)若f(x)为R上的单调函数,则f′(x)在R上不变号,结合①与条件a>0,知ax2-2ax+1≥0在R上恒成立,因此Δ=4a2-4a=4a(a-1)≤0,由此并结合a>0,知0<a≤1。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数

(1)若a=1,判断函数是否存在极值,若存在,求出极值;若不存在,说明理由;

(2)求函数的单调区间;

(3)设函数,若至少存在一个,使得成立,求实数a的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

(1)当时,,其定义域为(0,+).

因为

所以在(0,+)上单调递增,

所以函数不存在极值.

(2)函数的定义域为

时,

因为在(0,+)上恒成立,所以在(0,+)上单调递减.

时,

时,方程与方程有相同的实根.

①当时,>0,可得,且

因为时,,所以上单调递增;

因为时,,所以上单调递减;

因为时,,所以上单调递增;

②当时,,所以在(0,+)上恒成立,故在(0,+)上单调递增.                                                              (9分)

综上,当时,的单调减区间为(0,+);当时,的单调增区间为;单调减区间为;当时,的单调增区间为(0,+).

(3)由存在一个,使得成立,

,即.

,等价于“当 时,”.

因为,且当时,

所以上单调递增,

,因此.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数R .

(1)若函数在其定义域上为增函数,求的取值范围;

(2)当时,函数在区间N上存在极值,求的最大

值。

( 参考数值: 自然对数的底数)

正确答案

见解析。

解析

(1)解法1:函数的定义域为,

,   ∴.

∵ 函数上单调递增,

, 即都成立.

都成立.

时, , 当且仅当, 即时,取等号。

, 即.

的取值范围为.

解法2:函数的定义域为,

, ∴.

方程的判别式.

①     当, 即时, ,

此时, 都成立,

故函数在定义域上是增函数.

②     当, 即时, 要使函数在定义域上为增函数, 只需都成立。

, 则.

.

综合①②得的取值范围为.

(2):当时, .

.

∵ 函数N上存在极值,

∴ 方程N上有解,

即方程N上有解.

, 由于, 则,

∴函数上单调递减.

,

,

∴函数的零点.

∵方程 N上有解, N

.

N

的最大值为.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求函数的最值
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