热门试卷

（１）由函数

单调递减知。

，。

（２）函数的图象恰好有3个交点，等价于方程

。

是其中一个根，

故存在实数：满足题意。

（1）当时，，，

所以，.

因此，.即曲线在点处的切线斜率为.

又，即曲线在点处的切线方程为.

即.                                ……4分

（2），.

（i）当时，

因为，，所以在上单调递减。

（ii）当时，

因为，.所以在上单调递减.

（iii）当时，，.，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，

在上单调递减.     ……………13分

（1）因为………………2分

当时，，令，所以

随的变化情况如下表：

………………4分

所以的单调递增区间是，

单调递减区间是………………6分

（2）令，所以只有一个零点………………7分

因为

当时，，所以只有一个零点0  ………………8分

当时，对成立，

所以单调递增，所以只有一个零点………………9分

当时，令，解得或……………10分

所以随的变化情况如下表：

有且仅有一个零点等价于………………11分

即，解得………………12分

综上所述，的取值范围是………………13分

（1） 定义域为                            ---------------------------1分

                              ------------------------------------2分

令，得                       ------------------------------------3分

与的情况如下：

--------------------------------5分

所以的单调减区间为，单调增区间为--------------------------6分

（2） 证明1：

设，                     ------------------------------------7分

                            -------------------------------8分

与的情况如下：

所以，即

在时恒成立，                   ----------------------10分

所以，当时，，

所以，即，

所以，当时，有.                   ------------------------13分

证明2：

令          ----------------------------------7分

                            -----------------------------------8分

令，得                       -----------------------------------9分

与的情况如下：

---------------------10分

的最小值为                          -------------------11分

当时，，所以

故                                      -----------------------------12分

即当时，.                  ------------------------------------13分

（1）在区间上, .     ……………………1分

①若,则,是区间上的减函数；   ……………3分

②若,令得.

在区间上, ,函数是减函数;

在区间上, ,函数是增函数;

综上所述，①当时,的递减区间是，无递增区间；

②当时，的递增区间是，递减区间是.   …………6分

（2）因为函数在处取得极值，所以

解得，经检验满足题意.                                     …………7分

由已知则       …………………8分

令，则    …………………10分

易得在上递减，在上递增，              …………………12分

所以，即。                   …………14分

（1）时，

， ————2分

在直线上，，即 

    ————4分

，

（2）①

是上的增函数，

，

在上恒成立，————6分

令   则，

设，  在上恒成立————7分

恒成立，，  实数最大值为————9分

②由，

，   ————11分

表明：若点为图象上任意一点，则点也在图象上，

而线段的中点恒为；由此可知图象关于点对称。

这也表明存在点，使得过的直线若能与图象相交围成封闭图形，

则这两个封闭图形面积相等， ————13分

（1）解：函数的定义域为

，令，得

当变化时，，的变化情况如下表

所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）证明：当时，。设，令

由（1）知在区间内单调递增。

故存在唯一的，使得成立。

（3）证明：∵，由（2）知，，且，

∴

其中，，要使成立，只需。

当时，若，则由的单调性，有，矛盾。

所以，即，从而成立。

∴当时，成立。