热门试卷

试题分析：本题属于函数的应用中相对较难的问题，解题思路一般，但是运算还是有一定的难度，具体解析如下：

解：(Ⅰ)函数的定义域为，，

当时，，所以函数在区间上单调递增；

当时，由且解得，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．

（II）由（1）知道当时，函数在区间上单调递增，

所以时，函数的最大值是，

对任意的，都存在，不等式都成立，

等价于对任意的，不等式都成立，

即对任意的，不等式都成立，

不等式可化为，

记，则，

所以的最大值是，

所以实数的取值范围是．

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）要注意对参数的讨论．

（1）由题意得，，

则　，

解得　，

（2）由题意得

∴　

①当时，令，解得或，所以在和上单调递增；

令，解得，所以在上单调递减；

②当时，，则在上单调递增；

③当时，令，解得或，所以在和上单调递增；

令，解得，所以在上单调递减；

综上：当时，的单调递增区间和，单调递减区间是；

当时，的单调递增区间是；

当时，的单调递增区间和，单调递减区间是．

（3）∵　正项数列满足，，

∴　

数列是递减数列　　　　　      

令，

∵　

∴　是上的增函数，

∴　，即，

故，

∴是递减数列．

(Ⅰ)

(Ⅱ)

不妨设，又，

恒成立，等价于恒成立，即就是恒成立

令，则为单调递增函数

即就是恒成立

令

（Ⅰ），

由已知，，，故，，

，当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增；……（6分）

（Ⅱ）方法1：不等式，即，

设，，

时，，时，，

所以在递增，在递减，

当时，有最大值，

因此当时， ．

方法2：设，

在单调递减，在单调递增，

因为，，，

所以在只有一个零点，且，，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，

当时，，

因此当时， ．

（Ⅰ）函数的定义域为．

．

当时，,

令，得，

所以随的变化情况如下表：

所以在处取得极小值,  无极大值．

的单调递减区间为，单调递增区间为．

（Ⅱ）因为关于的方程有解,

令，则问题等价于函数存在零点,

所以．

令，得．

当时，对成立，函数在上单调递减，

而，，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以为函数的最小值,

当时，即时，函数没有零点,

当时，即时，注意到, 所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法二：

因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

令，所以,

令，得

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而．

，

所以函数存在零点．

当时，随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最小值，而．

当时，即时，函数不存在零点．

当，即时，  

所以函数存在零点．

综上，当或时，关于的方程有解．

法三：因为关于的方程有解，

所以问题等价于方程有解，

设函数，所以．

令，得，

随的变化情况如下表：

所以函数在处取得最大值，而，

又当时，, 所以,

所以函数的值域为,

所以当时，关于的方程有解，

所以．