• 职业资格类
  • 建筑类
  • 学历类
  • 财会类
  • 医药类
  • 全部考试
职业资格类
建筑类
学历类
财会类
计算机类
公务员
医药类
  • 导数的应用
  • 共1166题
  • 导数的应用
  • 共1166题

热门试卷

X 查看更多试卷
1
题型：简答题
|
简答题 · 14 分

已知函数，其中为实数.

20. 根据的不同取值，判断函数的奇偶性，并说明理由；

21. 若，判断函数在上的单调性，并说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）是非奇非偶函数

解析

试题分析：（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；

（1）当时，，显然是奇函数；

当时，，，且，

所以此时是非奇非偶函数.

考查方向

本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．

解题思路

根据情况分类讨论结合函数奇偶性的 分析

易错点

定义域关于原点对称是奇偶性存在的前提条件

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）函数在上单调递增

解析

试题分析：（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．

（2）设，

则

因为，所以，，，

所以，，

所以，

所以，即，

故函数在上单调递增.

考查方向

本题考查了函数的单调性，属于基础题．

解题思路

函数单调性的判断

(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．

(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数．

(3)导数法：利用导数研究函数的单调性．

(4)图象法：利用图象研究函数的单调性．

易错点

做差法证明单调性符号的判断

1
题型：简答题
|
简答题 · 14 分

已知函数

26.求的单调区间;

27.设曲线与轴正半轴的交点为P,曲线在点P处的切线方程为,求证:对于任意的正实数,都有;

28.若方程有两个正实数根且,求证:.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

解析

试题分析：由,可得 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

由,可得,当 ,即 时,函数 单调递增;当 ,即 时,函数 单调递减.所以函数 的单调递增区间是 ,单调递减区间是.

考查方向

本题主要考查导数的运算、导数的几何意义．

解题思路

给出可导函数求单调区间,实质是解关于导函数的不等式,若函数解析式中不含参数,一般比较容易.不过要注意求单调区间,要注意定义域优先原则,且结果必须写成区间形式,不能写成不等式形式.

易错点

导数函数性质与原函数单调性的关系.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

, ,证明 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

设 ,则 , 曲线 在点P处的切线方程为 ,即,令 即 则.

由于在 单调递减,故在 单调递减,又因为,所以当时,,所以当时,,所以 在单调递增,在单调递减,所以对任意的实数x, ,对于任意的正实数,都有.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查利用导数研究函数的性质等基础知识．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

构造函数的性质与所求问题的联系

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

设方程 的根为 ,可得,由在 单调递减,得 ,所以 .设曲线 在原点处的切线为 方程 的根为 ,可得 ,由 在在 单调递增,且 ,可得 所以 .

由（II）知 ,设方程 的根为 ,可得,因为在 单调递减,又由（II）知 ,所以 .类似的,设曲线 在原点处的切线为 可得 ,对任意的,有 即 .设方程 的根为 ,可得 ,因为 在 单调递增,且 ,因此, 所以.

解析

见答案.

考查方向

本题主要考查函数思想、化归思想，考查综合分析问题和解决问题的能力，是压轴题．

解题思路

利用导数证明不等式是近几年高考的一个热点,解决此类问题的基本思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性和极值破解.

易错点

导数的几何意义及导函数与原函数之间的联系

1
题型：简答题
|
简答题 · 14 分

已知函数．

24.设，．求方程的根

25. 若对于任意，不等式恒成立，求实数的最大值；

26.若，，函数有且只有1个零点，求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

，由可得，

则，即，则，；

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

由题意得恒成立，

令，则由可得，

此时恒成立，即恒成立

∵时，当且仅当时等号成立，

因此实数的最大值为．

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

，，

由，可得，令，则递增，

而，因此时，

因此时，，，则；

时，，，则；

则在递减，递增，因此最小值为，

① 若，时，，，则；

logb2时，，，则；

因此且时，，因此在有零点，

且时，，因此在有零点，

则至少有两个零点，与条件矛盾；

② 若，由函数有且只有1个零点，最小值为，

可得，

由，

因此，

因此，即，即，

因此，则．

考查方向

指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点

解题思路

易错点

基本不等式的应用，分类讨论思想，函数与方程思想

1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

8.设函数则是

A奇函数，在（0,1）上是增函数

BB．奇函数，在（0,1）上是减函数

C．偶函数，在（0,1）上是增函数

D．偶函数，在（0,1）上是减函数

正确答案

A

解析

显然，f(x)的定义域为（-1,1），关于原点对称，又为奇函数，显然，f(x)在（0,1）上单调递增，故选A.

考查方向

本题主要考察函数的单调性和奇偶性等知识，意在考察考生对于函数性质的理解。.

解题思路

分求函数的定义域后发现其关于原点对称，后利用奇偶性的定义得到其为奇函数，最后利用奇函数在对称的区间上单调性相同，得到其单调性。

易错点

对于函数的性质不理解导致出错。

知识点

函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断利用导数研究函数的单调性
1
题型：填空题
|
填空题 · 5 分

14．设函数的图象上存在两点，使得是以为直角顶点的直角三角形（其中为坐标原点），且斜边的中点恰好在轴上，则实数的取值范围是________.

正确答案

解析

根据条件知P, Q的横坐标互为相反数，不妨设P(－t, t3＋t2), B(t, f(t)(t＞0)

若t＜e，则f(t)＝－t3＋t2,

由∠POQ是直角得＝0，即－t2＋( t3＋t2)(－t3＋t2)＝0，

即t4－t2＋1＝0.此时无解；

若t≥1，则f(t)＝alnx,.由于PQ的中点在y轴上，且∠POQ是直角，

所以Q点不可能在x轴上，即t≠1.

同理＝0，  即－t2＋( t3＋t2)·alnx＝0，

整理后得 实数a的取值范围是

考查方向

本题主要考查了分类讨论的思想,在近几年的各省高考题出现的频率较高，常与函数单调性、值域、奇偶性、向量等知识点交汇命题。

解题思路

利用垂直的条件即数量积为0是本题破题的关键，同时对变量进行分类讨论，转化为求函数的值域问题。

易错点

1、是以为直角顶点的直角三角形这个条件如何准确地转化。

2、分类讨论的标准，如何不重复、不遗漏。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求参数的取值范围
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

12.已知定义在实数集上的函数满足，且的导数在上恒有，则不等式的解集为（    ）

AB．

B

C

D

正确答案

A

解析

构造函数，则，又因为的导数在上恒有，所以恒成立，所以是上的减函数.又因为，所以当x>2时，，即不等式的解集为，故应选.

考查方向

本题主要考查了导数在研究函数的单调性中的应用。

解题思路

构造函数再利用已知条件即可解出。

易错点

不会构造函数求解。

知识点

导数的加法与减法法则利用导数研究函数的单调性
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

10.已知函数是定义在R上的可导函数，为其导函数，若对于任意实数x，有，则（    ）

A

B

C

D大小不确定

正确答案

A

解析

设，则

∴为减函数，即，所以选项A为正确选项

考查方向

本题主要考查了导数应用,属于难题，是高考的热点

解题思路

过且垂直于x轴的直线与双曲线交于M,N两点，若可知△为等腰三

角形，锐角为即可，由此可知，从而能够推导出该双曲线的离心率e的取值范围．

易错点

本题构造函数不正确得不到正确结论。

知识点

导数的运算利用导数研究函数的单调性
1
题型：简答题
|
简答题 · 13 分

20. 设函数.

（I）当时，求函数的极值；

（II）当时，讨论函数的单调性.

正确答案

（1）f(x)极大值＝f(1)＝2，f(x)极小值＝f＝＋ln 2；（2当a>2时，f(x)在和(1，＋∞)单调递减，在上单调递增；

当1<a<2时，f(x)在(0，1)和单调递减，在上单调递增．）

解析

试题分析：本题属于导数与函数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，直接按照步骤来求

(1)函数的定义域为(0，＋∞)．

当a＝3时，f(x)＝－x2＋3x－ln x，f′(x)＝＝－，

当<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<及x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减．

所以f(x)极大值＝f(1)＝2，f(x)极小值＝f＝＋ln 2

(2) f′(x)＝(1－a)x＋a－＝＝，

当＝1，即a＝2时，f′(x)＝－≤0，f(x)在定义域上是减函数；

当0<<1，即a>2时，令f′(x)<0，得0<x<或x>1；令f′(x)>0，得<x<1

当>1，即1<a<2时，由f′(x)>0，得1<x<；由f′(x)<0，得0<x<1或x>，

综上，当a＝2时，f(x)在(0，＋∞)上是减函数；

当a>2时，f(x)在和(1，＋∞)单调递减，在上单调递增；

当1<a<2时，f(x)在(0，1)和单调递减，在上单调递增．

考查方向

本题考查了利用导数求极值和单调性

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、求导，然后解导数不等式，算极值。

2、求导，解不等式化，注意分类讨论

易错点

第一问中的导数的计算错误，、第二问中的易丢对a的分类讨论。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值
1
题型：简答题
|
简答题 · 16 分

19．已知函数在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围；

（3）若函数的两个零点为，试判断的正负，并说明理由.

正确答案

（1）

（2）

（3）．

解析

试题分析：本题属于导数应用中的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求（2）要注意对参数的讨论（3）涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，这种思路是一般解法，往往要利用“分离参数法”．涉及对数函数，要特别注意函数的定义域．

（1）由题意得，因函数在处的切线方程为，

所以，得.

（2）由（1）知对任意都成立，

所以，即对任意都成立，从而.

又不等式整理可得，令，

所以，得，

当时，，函数在上单调递增，

同理，函数在上单调递减，所以，

综上所述，实数的取值范围是.

（3）结论是.

证明：由题意知函数，所以，

易得函数在单调递增，在上单调递减，所以只需证明即可.

因为是函数的两个零点，所以，相减得，

不妨令，则，则，所以，，

即证，即证，

因为，所以在上单调递增，所以，

综上所述，函数总满足成立.

考查方向

本题考查了利用导数的几何意义，利用导数求含参数的函数单调区间，分类讨论讨论点大体可以分成以下几类：

1、根据判别式讨论；

2、根据二次函数的根的大小；

3、定义域由限制时，根据定义域的隐含条件；

4、求导形式复杂时取部分特别常常只需要转化为一个二次函数来讨论；

5、多次求导求解等．

解题思路

本题考查导数的性质，解题步骤如下：

1、求导，然后解导数不等式，算极值。

2、对参数分类讨论求得单调区间。

3、涉及恒成立问题，转化成求函数的最值，利用“分离参数法”

易错点

1、第二问中恒成立问题，转化为求函数的最值，最值如何求解。

2、第三问中构造函数不正确得不到正确结论。

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围
1
题型： 单选题
|
单选题 · 5 分

12．若函数满足，当x∈[0,1]时,.若在区间(-1,1]内,

有两个零点,则实数m的取值范围是(  )

A0

B0

C

D

正确答案

B

解析

求出函数在(-1,0）的解析式，然后根据f（x）=m（x+2）,使得y=f(x)与y=m（x+2）有两个交点，而直线过定点(-2，0），要求的m的范围转化为直线的斜率的取值使得两个函数的图像有2个交点，所以实数m的取值范围是0<m≤。

考查方向

函数的零点及求参数的范围问题。

解题思路

由已知条件算出对称定义域上的函数解析式，然后转化为两个函数有2个交点的问题来求解。

易错点

不会求对称的定义域上的函数的解析式。

知识点

二次函数的零点问题利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值
继续学习 棒棒哒，已是最后一个知识点
已完结
百度题库 > 高考 > 文科数学 > 导数的应用

扫码查看完整答案与解析

  • 上一题
  • 1/10
  • 下一题