- 向量在几何中的应用
- 共120题
在四边形中,
,则该四边形的面积为( )
正确答案
解析
本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长,因为,所以
,所以四边形的面积为
,故选C
知识点
已知点A(1,-1),B(3,0),C(2,1),若平面区域D由所有满足=λ
+μ
(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为__________。
正确答案
3
解析
=λ
+μ
,
=(2,1),
=(1,2)。
设P(x,y),则=(x-1,y+1)。
∴得
∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,
可得如图。
可得A1(3,0),B1(4,2),C1(6,3),
|A1B1|=,
两直线距离,
∴S=|A1B1|·d=3.
知识点
已知为坐标原点,
为椭圆
:
在
轴正半轴上的焦点,过
且斜率为
的直线
与
交与
、
两点,点
满
足
.
(1)证明:点在
上;
(2)设点关于点
的对称点为
,证明:
、
、
、
四点在同一圆上。
正确答案
见解析。
解析
(1),
的方程为
,代入
并化简得
.
设,
则
由题意得
所以点的坐标为
.
经验证点的坐标
满足方程
,故点
在椭圆
上 …6分
(2)由和题设知,
,
的垂直平分线
的方程为
. ①
设的中点为
,则
,
的垂直平分线
的方程为
. ②
由①、②得、
的交点为
.
,
,
,
,
,
故 ,
又 ,
,
所以 ,
由此知、
、
、
四点在以
为圆心,
为半径的圆上.
(2)法二:
同理
所以互补,
因此A、P、B、Q四点在同一圆上。
知识点
已知的三个顶点在抛物线C:
上,F为抛物线C的焦点,点M为AB的中点,
;
(1)若,求点M的坐标;
(2)求面积的最大值。
正确答案
(1)或
(2)
解析
(1)解:由题意知焦点,准线方程为
设,由抛物线定义知
,得到
,所以
或
由,分别得
或
(2)解:设直线的方程为
,点
由得
于是
所以中点
的坐标为
由,得
所以 由
得
由得
又因为
点到直线
的距离为
所以
记
令,解得
可得在
上是增函数,在
上时减函数,在
上是增函数,
又
所以,当时,
取到最大值
,此时
所以,面积的最大值为
知识点
已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则=__________.
正确答案
2
解析
以为基底,则
,
而,
,
∴.
知识点
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