向量在几何中的应用
共120题

· 向量在几何中的应用

向量在几何中的应用
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题型：单选题

单选题 · 5 分

在四边形中，，则该四边形的面积为（）

D10

正确答案

解析

本题考查的是向量垂直的判断以及向量的模长，因为，所以，所以四边形的面积为，故选C

知识点

向量在几何中的应用

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知点A(1，－1)，B(3,0)，C(2,1)，若平面区域D由所有满足＝λ＋μ(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成，则D的面积为__________。

正确答案

解析

＝λ＋μ，＝(2,1)，＝(1,2)。

设P(x，y)，则＝(x－1，y＋1)。

∴得

∵1≤λ≤2,0≤μ≤1，

可得如图。

可得A1(3,0)，B1(4,2)，C1(6,3)，

|A1B1|＝，

两直线距离，

∴S＝|A1B1|·d＝3.

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知为坐标原点，为椭圆：在轴正半轴上的焦点，过且斜率为的直线与交与、两点，点满足.

（1）证明：点在上；

（2）设点关于点的对称点为，证明：、、、四点在同一圆上。

正确答案

见解析。

解析

（1）,的方程为,代入并化简得

设,

则

由题意得

所以点的坐标为.

经验证点的坐标满足方程,故点在椭圆上 …6分

（2）由和题设知，，的垂直平分线的方程为

. ①

设的中点为,则,的垂直平分线的方程为

. ②

由①、②得、的交点为.

故 ,

又 , ,

所以 ,

由此知、、、四点在以为圆心,为半径的圆上.

（2）法二：

同理

所以互补，

因此A、P、B、Q四点在同一圆上。

知识点

向量在几何中的应用直线与圆锥曲线的综合问题

题型：简答题

简答题 · 15 分

已知的三个顶点在抛物线C：上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中点，；

（1）若，求点M的坐标；

（2）求面积的最大值。

正确答案

（1）或（2）

解析

（1）解：由题意知焦点，准线方程为

设，由抛物线定义知，得到，所以

或

由，分别得

或

（2）解：设直线的方程为，点

由得

于是

所以中点的坐标为

由，得

所以由得

由得

又因为

点到直线的距离为

所以

记

令，解得

可得在上是增函数，在上时减函数，在上是增函数，

又

所以，当时，取到最大值，此时

所以，面积的最大值为

知识点

向量在几何中的应用直线与圆锥曲线的综合问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________.

正确答案

解析

以为基底，则，

而，，

∴.

知识点

平面向量数量积的运算向量在几何中的应用

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