- 圆锥曲线中的探索性问题
- 共34题
已知点在抛物线上,直线R,且与抛物线
相交于两点,直线分别交直线于点.
(1)求的值;
(2)若,求直线的方程;
(3)试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若
不是,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)解:∵点在抛物线上, ∴.
解法1:(2)由(1)得抛物线的方程为.
设点的坐标分别为,依题意,,
由消去得,
解得.
∴.
直线的斜率,
故直线的方程为.
令,得,∴点的坐标为.
同理可得点的坐标为.
∴
.
∵, ∴.
由,得,
解得, 或,
∴直线的方程为,或.
(3)设线段的中点坐标为,
则
.
而,
∴以线段为直径的圆的方程为.
展开得.
令,得,解得或.
∴以线段为直径的圆恒过两个定点.
解法2:(2)由(1)得抛物线的方程为.
设直线的方程为,点的坐标为,
由解得
∴点的坐标为.
由消去,得,
即,解得或.
∴,.
∴点的坐标为.
同理,设直线的方程为,
则点的坐标为,点的坐标为.
∵点在直线上,
∴.
∴.
又,得,
化简得.
,
∵,
∴.
∴.
由,
得,
解得.
∴直线的方程为,或.
(3)设点是以线段为直径的圆上任意一点,
则,
得,
整理得,.
令,得,解得或.
∴ 以线段为直径的圆恒过两个定点.
知识点
已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,,点在椭圆上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为, 且与交于点.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 是否存在满足的点? 若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标); 若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1) 解法1:设椭圆的方程为,
依题意: 解得:
∴ 椭圆的方程为.
解法2:设椭圆的方程为,
根据椭圆的定义得,即,
∵, ∴.
∴ 椭圆的方程为.
(2)解法1:设点,,则,
,
∵三点共线,
∴.
∴,
化简得:. ①
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即. ②
同理,抛物线在点处的切线的方程为 . ③
设点,由②③得:,
而,则 .
代入②得 ,
则,代入 ① 得 ,即点的轨迹方程为
.
若 ,则点在椭圆上,而点又在直线上,
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点.
∴满足条件 的点有两个.
解法2:设点,,,
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即.
∵, ∴ 。
∵点在切线上, ∴. ①
同理, . ②
综合①、②得,点的坐标都满足方程 .
∵经过两点的直线是唯一的,
∴直线的方程为,
∵点在直线上, ∴.
∴点的轨迹方程为.
若 ,则点在椭圆上,又在直线上,
∵直线经过椭圆内一点,
∴直线与椭圆交于两点.
∴满足条件 的点有两个.
解法3:显然直线的斜率存在,设直线的方程为,
由消去,得.
设,则.
由,即得.
∴抛物线在点处的切线的方程为,
即.
∵, ∴.
同理,得抛物线在点处的切线的方程为.
由解得
∴.
∵,
∴点在椭圆上.
∴.
化简得.(*)
由,
可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点有两个.
知识点
已知椭圆过点和点。
(1)求椭圆的方程;
(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)因为椭圆过点和点,
所以,由,得。
所以椭圆的方程为,……………5分
(2)假设存在实数满足题设,
由 得。
因为直线与椭圆有两个交点,所以,即 。 ①
设MN的中点为,分别为点的横坐标,
则,从而,
所以。
因为,所以。
则,而,所以。
即,此与 ① 矛盾。
因此,不存在这样的实数,使得,…………………13分
知识点
在平面直角坐标,直线经过椭圆的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2
(1)求椭圆E的方程;
(2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|,问△ABC
的面积是否存在最小值?若存在,求此时点C的坐标;若不存在,说明理由。
正确答案
见解析。
解析
知识点
(1)求该椭圆的标准方程;
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知椭圆和直线L:=1, 椭圆的离心率,直线L与坐标原点的距离为。
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点,若直线与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在值,使以CD为直径的圆过定点E?若存在求出这个值,若不存在说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)直线L:=1,∴=.① ,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分
e=.② ,,,,,,,,,,,,,,,,,,4分
由①得,3
由②3得 ∴所求椭圆的方程是+y2=1. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,6分
(2)联立得:.
Δ ,,,,,,,,,,,,8分
设,则有
,,,,,,,,,,,,,,,,,,10分
∵,且以CD为圆心的圆点过点E,
∴EC⊥ED. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,12分
则
∴,解得=>1,
∴当=时以CD为直径的圆过定点E. ,,,,,,,,,,,,,,,,,。14分
知识点
已知圆C的方程为,圆心C关于原点对称的点为A,P是圆上任一点,线段的垂直平分线交于点.
(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;
(2)过点B(1,)能否作出直线,使与轨迹交于M、N两点,且点B是线段MN的中点,若这样的直线存在,请求出它的方程和M、N两点的坐标;若不存在,请说明理由.
正确答案
见解析。
解析
(1)
如图,由已知可得圆心,半径,点A(1,0)
∵点是线段的垂直平分线与CP的交点,∴
又∵,∴
∴点Q的轨迹是以O为中心,为焦点的椭圆,
∵,∴,
∴点Q的轨迹的方程.
(2)假设直线存在,设,分别代入得
,
两式相减得,即
由题意,得,
∴,即
∴直线的方程为
由得
∵点B在椭圆L内,
∴直线的方程为,它与轨迹L存在两个交点,
解方程得
当时,;当时,
所以,两交点坐标分别为和
知识点
如图,已知平面内一动点到两个定点、的距离之和为,线段的长为
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过点作直线与轨迹交于、两点,且点在线段的上方,
线段的垂直平分线为
①求的面积的最大值;
②轨迹上是否存在除、外的两点、关于直线对称,请说明理由。
正确答案
见解析
解析
(1)因为,轨迹是以、为焦点的椭圆,
(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,
可得轨迹的方程为
最大值为
②结论:当时,显然存在除、外的两点、关于直线对称
下证当与不垂直时,不存在除、外的两点、关于直线对称
证法1:假设存在这样的两个不同的点
设线段的中点为 直线
由于在上,故 ①
又在椭圆上,所以有
两式相减,得
将该式写为,
并将直线的斜率和线段的中点,表示代入该表达式中,
得 ②
①、②得,由(1)代入
得
即的中点为点,而这是不可能的.
此时不存在满足题设条件的点和.
证法2:假设存在这样的两个不同的点
,
则,故直线经过原点。
直线的斜率为,则假设不成立,
故此时椭圆上不存在两点(除了点、点外)关于直线对称
知识点
如下图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程是x=2.
(1)求该椭圆的标准方程;
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知抛物线上有一点到焦点的距离为。
(1)求及的值。
(2)如图,设直线与抛物线交于两点,且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点,连接.试判断的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)焦点, ,………………3分
,代入,得………………5分
(2)联立,得:
,即………………6分
,
=,
,…………………9分
,………………11分
的面积………………13分
知识点
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