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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知点在抛物线上,直线R,且与抛物线

相交于两点,直线分别交直线于点.

(1)求的值;

(2)若,求直线的方程;

(3)试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点?若是,求这两个定点的坐标;若

不是,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1):∵点在抛物线上,   ∴.

解法1:(2)由(1)得抛物线的方程为.

设点的坐标分别为,依题意,

消去

解得.

.

直线的斜率

故直线的方程为.

,得,∴点的坐标为.

同理可得点的坐标为.

.

,     ∴.

,得

解得, 或,

∴直线的方程为,或.

(3)设线段的中点坐标为

.

∴以线段为直径的圆的方程为.

展开得.

,得,解得.

∴以线段为直径的圆恒过两个定点.

解法2:(2)由(1)得抛物线的方程为.

设直线的方程为,点的坐标为

解得

∴点的坐标为.

消去,得

,解得.

.

∴点的坐标为.

同理,设直线的方程为

则点的坐标为,点的坐标为.

∵点在直线上,

.

.

,得

化简得.

.

.

解得.

∴直线的方程为,或.

(3)设点是以线段为直径的圆上任意一点,

整理得,.

,得,解得.

∴ 以线段为直径的圆恒过两个定点.

知识点

直线的一般式方程抛物线的标准方程和几何性质直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的中心在坐标原点,两个焦点分别为,点在椭圆上,过点的直线与抛物线交于两点,抛物线在点处的切线分别为, 且交于点.

(1)    求椭圆的方程;

(2)    是否存在满足的点? 若存在,指出这样的点有几个(不必求出点的坐标); 若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1) 解法1:设椭圆的方程为,

依题意: 解得:

∴ 椭圆的方程为.

解法2:设椭圆的方程为

根据椭圆的定义得,即

,  ∴.

∴ 椭圆的方程为.

(2)解法1:设点,,则

三点共线,

.

,

化简得:.  ①

,即.

∴抛物线在点处的切线的方程为

.     ②

同理,抛物线在点处的切线的方程为 .   ③

设点,由②③得:

,则 .

代入②得

代入 ① 得 ,即点的轨迹方程为

.

 ,则点在椭圆上,而点又在直线上,

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法2:设点,

,即.

∴抛物线在点处的切线的方程为

.

, ∴ 。

∵点在切线上,   ∴.        ①

同理, .  ②

综合①、②得,点的坐标都满足方程 .

∵经过两点的直线是唯一的,

∴直线的方程为

∵点在直线上,      ∴.

∴点的轨迹方程为.

 ,则点在椭圆上,又在直线上,

∵直线经过椭圆内一点,

∴直线与椭圆交于两点.

∴满足条件 的点有两个.

解法3:显然直线的斜率存在,设直线的方程为

消去,得.

,则.

,即.

∴抛物线在点处的切线的方程为

.

, ∴.

同理,得抛物线在点处的切线的方程为.

解得

.

,

∴点在椭圆上.

.

化简得.(*)

,

可得方程(*)有两个不等的实数根.  ∴满足条件的点有两个.

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知椭圆过点和点

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线与椭圆相交于不同的两点,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)因为椭圆过点和点

所以,由,得

所以椭圆的方程为,……………5分

(2)假设存在实数满足题设,

 得

因为直线与椭圆有两个交点,所以,即 。      ①

设MN的中点为分别为点的横坐标,

,从而

所以

因为,所以

,而,所以

,此与 ① 矛盾。

因此,不存在这样的实数,使得,…………………13分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

在平面直角坐标,直线经过椭圆的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2

(1)求椭圆E的方程;

(2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|,问△ABC

的面积是否存在最小值?若存在,求此时点C的坐标;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

(1)求该椭圆的标准方程;

正确答案

见解析。

解析

知识点

向量在几何中的应用椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆和直线L:=1, 椭圆的离心率,直线L与坐标原点的距离为

(1)求椭圆的方程;

(2)已知定点,若直线与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在值,使以CD为直径的圆过定点E?若存在求出这个值,若不存在说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)直线L:=1,∴=.①      ,,,,,,,,,,,,,,,,,,2分

e=.②   ,,,,,,,,,,,,,,,,,,4分

由①得,3

由②3得     ∴所求椭圆的方程是+y2=1. ,,,,,,,,,,,,,,,,,,6分

(2)联立得:.

Δ  ,,,,,,,,,,,,8分

,则有

,,,,,,,,,,,,,,,,,,10分

,且以CD为圆心的圆点过点E,

∴EC⊥ED.                                       ,,,,,,,,,,,,,,,,,,12分

,解得=>1,

∴当=时以CD为直径的圆过定点E.                ,,,,,,,,,,,,,,,,,。14分

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知圆C的方程为,圆心C关于原点对称的点为A,P是圆上任一点,线段的垂直平分线于点.

(1)当点P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程;

(2)过点B(1,)能否作出直线,使与轨迹交于M、N两点,且点B是线段MN的中点,若这样的直线存在,请求出它的方程和M、N两点的坐标;若不存在,请说明理由.

正确答案

见解析。

解析

(1)

如图,由已知可得圆心,半径,点A(1,0)

∵点是线段的垂直平分线与CP的交点,∴

又∵,∴

∴点Q的轨迹是以O为中心,为焦点的椭圆,

,∴

∴点Q的轨迹的方程.

(2)假设直线存在,设,分别代入

两式相减得,即

由题意,得

,即

∴直线的方程为

∵点B在椭圆L内,

∴直线的方程为,它与轨迹L存在两个交点,

解方程

时,;当时,

所以,两交点坐标分别为

知识点

相关点法求轨迹方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,已知平面内一动点到两个定点的距离之和为,线段的长为

(1)求动点的轨迹的方程;

(2)过点作直线与轨迹交于两点,且点在线段的上方,

线段的垂直平分线为

①求的面积的最大值;

②轨迹上是否存在除外的两点关于直线对称,请说明理由。

正确答案

见解析

解析

(1)因为,轨迹是以为焦点的椭圆,                    

(2)以线段的中点为坐标原点,以所在直线为轴建立平面直角坐标系,

可得轨迹的方程为

最大值为

②结论:当时,显然存在除外的两点关于直线对称

下证当不垂直时,不存在除外的两点关于直线对称

证法1:假设存在这样的两个不同的点

设线段的中点为   直线

由于上,故        ①

在椭圆上,所以有

两式相减,得

将该式写为

并将直线的斜率和线段的中点,表示代入该表达式中,

     ②

①、②得,由(1)代入

的中点为点,而这是不可能的.

此时不存在满足题设条件的点.

证法2:假设存在这样的两个不同的点

,故直线经过原点。

直线的斜率为,则假设不成立,

故此时椭圆上不存在两点(除了点、点外)关于直线对称

知识点

直线与圆锥曲线的综合问题直接法求轨迹方程圆锥曲线中的范围、最值问题圆锥曲线中的探索性问题
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

如下图,椭圆的中心为原点O,离心率e=,一条准线的方程是x=2.

(1)求该椭圆的标准方程;

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的定义及标准方程直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线中的探索性问题
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知抛物线上有一点到焦点的距离为

(1)求的值。

(2)如图,设直线与抛物线交于两点,且,过弦的中点作垂直于轴的直线与抛物线交于点,连接.试判断的面积是否为定值?若是,求出定值;否则,请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)焦点………………3分

,代入,得………………5分

(2)联立,得:

………………6分

=

,…………………9分

  ,………………11分

的面积………………13分

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
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