导数的几何意义
共154题

· 导数的几何意义

导数的几何意义
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题型：单选题

单选题 · 5 分

4．函数f（x）＝x cosx在点（0，f（0））处的切线斜率是

B－1

正确答案

解析

f’(x)=cosx-xsinx,得k=f’（0）=1。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查导数的几何意义

解题思路

直接求导，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，D选项不正确，所以选C选项。

易错点

本题易在求导数时发生错误。

知识点

导数的几何意义直线的倾斜角与斜率

题型：简答题

简答题 · 12 分

21.设函数在点处的切线方程为．（自然对数的底数

（Ⅰ）求值，并求的单调区间；

（Ⅱ）证明：当时，．

正确答案

（Ⅰ），在单调递减，在单调递增

（Ⅱ）略

解析

（Ⅰ），

由已知，，，故，，

，当时，，当时，，

故在单调递减，在单调递增；……（6分）

（Ⅱ）方法1：不等式，即，

设，，

时，，时，，

所以在递增，在递减，

当时，有最大值，

因此当时，．

方法2：设，

在单调递减，在单调递增，

因为，，，

所以在只有一个零点，且，，

当时，，当时，，

在单调递减，在单调递增，

当时，，

因此当时，．

考查方向

本题主要考查函数的导数与切线间的关系，利用导数判断函数的单调性，以及构造函数解决不等式问题，难度较大，属高考重要考点。函数与导数的问题常常考察切线问题、函数的单调性、求参数的取值范围以及构造函数解决函数不等式问题。

解题思路

第一问直接求导得到在x=0时斜率为-1得到一个方程，函数图像过点（0，-1）得到第二个方程，解出a,b;

第二问直接变形后作商得到，然后对左边函数进行求导即得

易错点

在第二问采用作差来比较大小，求导后得到的函数无法求出零点，不能联系第一问求二阶导数，导致无法计算。

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式

题型：填空题

填空题 · 5 分

11.函数处的切线与直线垂直，则a的值为______.

正确答案

解析

考查方向

本题主要考查了导数的几何意义/导数的几何意义是高频考点，主要涉及求切线方程、求参数。

解题思路

易错点

易求错函数的导函数。

知识点

导数的几何意义两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系

题型：填空题

填空题 · 17 分

21．已知函数 ,，（，为常数）

（Ⅰ）若在处的切线过点，求的值；

（Ⅱ）设函数的导函数为，若关于的方程有唯一解，求实数的取值范围；

（Ⅲ）令，若函数存在极值，且所有极值之和大于，求实数的取值范围。

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）

解析

本题属于导数的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）直接按步骤来求，

（2）要注意分离参数；

（3）要注意讨论。

（1）设在处的切线方程为，

因为，

且，所以，

切线方程为，即，

当，，将代入，得。

（2），

由题意，得有唯一解，

即方程有唯一解，

令，

则，

所以在区间，上是增函数，在区间是减函数，又，，故实数的取值范围是

（3）因为，所以，

因为存在极值，

所以在上有根，即在上有根，则有．

显然，当时，不存在极值（舍），即方程有两个不等正根，记方程的两个根为，

则，解得①；

又因为

，解得②；

由①②，得所求实数的取值范围是

考查方向

【考查方向】本题主要考查了导数的应用，导数的应用主要分以下几类：

1．利用导数的几何意义求切线方程，

2．利用导数研究函数的单调性、极值和最值或零点，

3．利用导数研究不等式恒成立或存在性。

易错点

1.第二问中，易忽视分离参数；

2.第三问中，易忽视“”的讨论．

知识点

导数的几何意义利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围

题型：填空题

填空题 · 5 分

14．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（）

正确答案

解析

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点。

解：因为,设点P（x0,y0）（x0>0）,则切线的斜率,当切线与y=x-2平行时，点P到直线距离最小，所以，解得x0=1或（舍去）。当时，y0=1,所以点P（1,1）,直线方程化为x-y-2=0,所以距离d=。

考查方向

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点，难度中等，是高考热点之一，考查学生分析问题与转化问题的能力。

易错点

本题必须注意把点线之间的距离转化为两条平行线之间的距离，否则会导致无法求出．

知识点

导数的几何意义两条平行直线间的距离

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