平面向量_章节学习

1

题型：填空题

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填空题

在中，角，，所对的边分别为，，，为的面积，若向量,，则角．

正确答案

略

1

题型：填空题

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填空题

化简=___________。

正确答案

试题分析：根据题意，由于=,故答案为

点评：解决的关键是利用三角形法则或者是平行四边形法则来求解向量的运算，属于基础题。

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题型：填空题

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填空题

设向量，若a//b，则实数t的值是_______.

正确答案

9

考查平面向量的坐标运算及共线性质。由2t-18=0可以解t=9

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题型：填空题

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填空题

已知点A（1，2）、B（3，4），则向量坐标为＿＿＿＿ .

正确答案

（2，2）

略

1

题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）在△OAB的边OA、OB上分别有一点P、Q,已知:＝1:2, :＝3:2,连结AQ、BP,设它们交于点R,若＝a，＝b. （Ⅰ）用a与 b表示；

（Ⅱ）过R作RH⊥AB,垂足为H,若| a|＝1, | b|＝2, a与 b的夹角的范围.

正确答案

(Ⅰ) a＋b (Ⅱ)

：（1）由＝a，点P在边OA上且:＝1:2，

可得(a－), ∴a. 同理可得b. ……2分

设,

则＝a＋b－a)＝(1－)a＋b,

＝b＋a－b)＝a＋(1－)b. ……4分

∵向量a与b不共线, ∴ ∴a＋b.…5分

(2)设,则(a－b),

∴(a－b)－ (a＋b)＋b

＝a＋(b. ……6分

∵, ∴,即[a＋(b]·(a－b)＝0

a2＋(b2＋a·b＝0………………8分

又∵|a|＝1, |b|＝2, a·b＝|a||b|,

∴

∴.………10分

∵, ∴, ∴5－4,

∴.故的取值范围是.…12分

1

题型：简答题

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简答题

（本题满分16分，第（1）小题6分，第（2）小题10分）

如图，已知点是边长为的正三角形的中心，线段经过点，并绕点转动，分别交边、于点、；设，，其中，．

（1）求表达式的值，并说明理由；

（2）求面积的最大和最小值，并指出相应的、的值．

正确答案

(Ⅰ) 3 (Ⅱ) 或

（1）如图延长AG交BC与F，G为△ABC的中心

F为BC的中点，则有

，，

　即………………………………3分

D、G、E三点共线

故＝3 ………………………………6分

（2）△ABC是边长为1的正三角形，

， S＝mn…………………8分

由=3，0＜m1,01n=,　　即。………10分

S＝mn＝

设t=m-则m=t+（）S=mn=（t++）……………12分

　易知在为减函数，在为增函数。

t=，即，时，取得最小值，

即S取得最小值…………………14分

又，取得最大值是，

则S取得最大值，此时或…………………16分

1

题型：填空题

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填空题

若=（-8，1），=（3，4），则在方向上的射影是。

正确答案

-4

根据向量数量积的定义可知，在方向上的射影是||

||===

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题型：填空题

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填空题

若|a+b|=|a-b|，则a与b的夹角为_______________.

正确答案

90°

解：因为|a+b|=|a-b|，利用向量的几何意义可知，a与b的夹角为90°

1

题型：填空题

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填空题

如图，在ΔABC中，=

正确答案

此题考查向量加法和数量积的运算；设所以，又因为与的夹角等于，所以在，

所以

1

题型：填空题

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填空题

若A(-1,-2),B(4,8),C(5,x),且A、B、C三点共线,则x＝　

正确答案

10

略

1

题型：填空题

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填空题

在中，，，，则 .

正确答案

.

试题分析：，即，所以，

.

1

题型：简答题

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简答题

求：，的数量和长度。

正确答案

解：

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题型：填空题

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填空题

如图是一副直角三角板.现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD,则下列叙述正确的是. _________

①；②平面BCD的法向量与平面ACD的法向量垂直;③异面直线BC与AD所成的角为60%④四面体有外接球；⑤直线DC与平面ABC所成的角为300

正确答案

①④⑤

取中点，连接

∵分别是中点，

∴，则

∵分别是中点，，∴

∵面面，∴面

以为原点，为轴正方向，建立如图直角坐标系

设，则

所以

则，所以，故命题①正确；

可知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，由可得，令可得

因为，所以平面的法向量与平面的法向量不垂直，故命题②不正确；

因为，设异面直线与的夹角为，则

，所以异面直线与的夹角不等于60°，故命题③不正确；

任意四面体一定有外接球，所以命题④正确；

可知平面的一个法向量，，设直线与平面的夹角为，则，所以，故命题⑤正确。

综上可得，正确的命题为①④⑤

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题型：填空题

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填空题

如图是直角边等于4的等腰直角三角形，是斜边的中点，，向量的终点在的内部（不含边界），则实数的取值范围是．

正确答案

试题分析：设过点F作FE平行AC于E点，交AD于N点，则,由向量加法的几何意义知，点M必在线段EN上（不含端点）.又时，,时，，所以.

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题型：简答题

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简答题

如图，梯形中，，是上的一个动点，

(Ⅰ)当最小时，求的值。

(Ⅱ)当时，求的值。

正确答案

(Ⅰ)-18 (Ⅱ)

(Ⅰ)以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系。

则,令

有

所以，----3分

当时，最小

此时，在中，, 在中，

所以----6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，----10分

整理得：

此时----14分

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