平面向量_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知点为所在平面上的一点，且，其中为实数，若点落在的内部，则的取值范围是．

正确答案

．

试题分析：如图，取靠近的三等分点，过作的平行线交于，过作的平行线交于，由平行线等分线段定理得因此，若则从而与，在边上；若则在的延长线上，即落在外．故要使点落在的内部，则．

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题型：填空题

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填空题

已知下列命题：①；②若向量按向量平移后的坐标仍是（－3，4）；③“向量的方向相反”是“互为相反向量”的充分不必要条件；④已知点M是△ABC的重心，则。

其中正确命题的序号是__________.

正确答案

②④

①错②对 ③错 ④对

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题型：填空题

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填空题

已知，则________.

正确答案

解：因为，则

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题型：填空题

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填空题

若向量,且,则实数= ▲ .

正确答案

－4

由则，解得。

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题型：简答题

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简答题

已知是三个向量，试判断下列各命题的真假．

（1）若且，则

（2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量．

正确答案

见解析

解：（1）若且，则，这是一个假命题。

因为，仅得

（2）向量在的方向上的投影是一模等于（是与的夹角），方向与在相同或相反的一个向量．这是一个假命题。

因为向量在的方向上的投影是个数量，而非向量。

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题型：填空题

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填空题

如图,在空间四边形中,已知是线段的中点,是的中点,若分别记为,则用表示的结果为 .

正确答案

.

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题型：填空题

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填空题

已知为棱长为1的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为

正确答案

2

以为原点，为轴正方向，建立空间直角坐标系。则。设，则，当即位于线段上时，取到最大值2

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题型：简答题

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简答题

如图所示，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，求AP∶PM的值.

正确答案

AP∶PM=4∶1

方法一设e1=,e2=,

则=+=-3e2-e1，

=+=2e1+e2.

因为A、P、M和B、P、N分别共线，所以存在实数、，使==-3e2-e1，

==2e1+e2，∴=-=（+2）e1+（3+）e2，

另外=+=2e1+3e2，

，∴，

∴=,=,∴AP∶PM=4∶1.

方法二设=，

∵=（+）=+，

∴=+.

∵B、P、N三点共线，∴-=t(-),

∴=(1+t)-t

∴

∴+=1，=，∴AP∶PM=4∶1.

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题型：填空题

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填空题

若P、Q、R是边长为1的正边BC上的四等分点，则_______.

正确答案

本题考查向量的加法以及数量积的运算.

由数量积的运算法则有，是的中点，由向量的加法法则有，则

在中，，，则

因为是边长为1的正边BC上的四等分点，则，则

，

所以

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题型：填空题

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填空题

在空间直角坐标系O-xyz中，（其中i、j、k分别为X轴、y轴、z轴正方向上的单位向量).有下列命题：

①若且，则的最小值为；

②设，若向量与k共线且，则动点P的轨迹是抛物线；

③若，则平面MQR内的任意一点A (x,y，z)的坐标必然满足关系式；

④设，，若向量与j共线且，则动点P的轨迹是双曲线的一部分. 其中你认为正确的所有命题的序号为. _______

正确答案

234

本题考查空间几何与平面向量的交汇。在①中正实数于是

，在2中向量与k共线且知道，并且点P到Q的距离（也就是Q所在直线距离）与P到点O距离相等，定义知P即是在yoz平面表示以定点O为焦点，定直线Q所在直线为准线的抛物线，故正确；在3中平面MQR在坐标面xoy、yoz、zox平面上的直线分别是、、，故正确；在4中向量与j共线及点P在XOY坐标平面，得出点N在X轴上，点M在YOZ坐标平面的直线Z=1上且与点P的y坐标等，再坐标化可以知道，故正确

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题型：简答题

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简答题

（本小题满分12分）已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=－λe1－8e2,

=3e1－3e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数λ的值.

正确答案

解：由=－λe1－8e2,=3e1－3e2,

∴=（λe1+8e2）+（3e1－3e2）=（λ+3）e1+5e2, 4分

∴（λ+3，5） 6分

又∵点A、B、C在同一直线上，且=e1+e2 =（1，1） 8分

∴λ+3-5="0 " ∴λ="2 " 12分

略

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题型：填空题

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填空题

若菱形的边长为，则__________。

正确答案

2

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题型：填空题

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填空题

已知不共线，，当______时，共线.

正确答案

因为不共线，，当共线时，则有k=.

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题型：填空题

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填空题

已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60，则| a-2b|等于

正确答案

2

,

.

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题型：填空题

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填空题

若向量，的夹角为120°，||＝1，||＝3，则|5－|＝ .

正确答案

7

试题分析：由已知得，所以.

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