平面向量
共8529题

平面向量
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题型：填空题

填空题

在中，，，，则 .

正确答案

试题分析：，即，所以，

题型：填空题

填空题

△ABC中AB＝2，AC＝3，点D是△ABC的重心，则·＝________．

正确答案

设E为边BC的中点，因为点D是△ABC的重心，所以＝＝× (＋)＝(＋)，又＝－，所以·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝

题型：简答题

简答题

已知=（2,0），，的夹角为60°，则．

正确答案

试题分析：.

题型：简答题

简答题

如图，梯形中，，是上的一个动点，

(Ⅰ)当最小时，求的值。

(Ⅱ)当时，求的值。

正确答案

(Ⅰ)-18 (Ⅱ)

(Ⅰ)以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的直角坐标系。

则,令

有

所以，----3分

当时，最小

此时，在中，, 在中，

所以----6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，----10分

整理得：

此时----14分

题型：填空题

填空题

已知，且与的夹角为，，则等于 .

正确答案

试题分析：∵，∴，∴，

∴，∴，∴，

∴

∴.

题型：简答题

简答题

（本小题满分12分）在△OAB中，，AD与BC交于点M，设=a，=b，

（1）用a，b表示;

（2）在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过M点，设=p，=q，求证：=1.

正确答案

（1）a+b；（2）略

（1）解：设=ma+nb，则=（m－1）a+nb;=－a+b，

∵点A、M、D共线，∴与共线，

∴，∴m+2n="1. " ① 2分

而a+nb，a+b，

∵C、M、B共线，∴与共线，

∴，∴4m+n="1. " ② 4分

联立①②可得m=，n=，∴a+b. 7分

（2）证明：=（－p）a+b，=－pa+qb，

∵与共线，∴.

∴q－pq=－p，即="1. " 12分

题型：填空题

填空题

已知平行四边形，是的中点，若，则向量= （用向量表示）．

正确答案

试题分析：在三角形中,将所求向量表示成已知向量的和与差,利用平几性质将共线向量等价转化是解题关键.

题型：填空题

填空题

已知向量满足，设，若不等式的解集为空集，则的取值范围是__________．

正确答案

试题分析：由题意可得,，又不等式的解集为空，则，所以．

题型：简答题

简答题

已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使=m+n，且m+n=1．

正确答案

A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得=λ．很显然，题设条件中向量表达式并未涉及、，对此，我们不妨利用=＋来转化，以便进一步分析求证．

证明充分性，由=m＋n， m＋n=1，得

＋=m＋n（＋）

=（m＋n）＋n=＋n，

∴=n．

∴A、B、C三点共线．

必要性:由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得=λ，

即 +=λ（+）．

=（λ－1）＋λ=（1－λ）＋λ，

m=1－λ，n=λ，m＋n=1，

=m＋n．

题型：填空题

填空题

平行四边形中，为一条对角线，若,,则 .

正确答案

略

题型：填空题

填空题

如图所示，两射线与交于，下列向量若以为起点，终点落在阴影区域内（含边界）的是 .

① ② ③

④ ⑤

正确答案

②

略

题型：填空题

填空题

在中，，M为BC的中点，则_______。（用表示）

正确答案

解：，，所以。

题型：填空题

填空题

如图，在四边形中，，为的中点，且，则 .

正确答案

试题分析：因为为的中点，，又

，

题型：填空题

填空题

设点是线段的中点，点在直线外，中边上的高为,且则的最大值为_____________.

正确答案

设.

题型：简答题

简答题

如图所示，在△ABO中，=,=,AD与BC相交于点M，设=a，=b.试用a和b表示向量.

正确答案

=a+b

设=ma+nb，

则=-=ma+nb-a=(m-1)a+nb.

=-=-=-a+b.

又∵A、M、D三点共线，∴与共线.

∴存在实数t,使得=t，

即(m-1)a+nb=t(-a+b). 4分

∴(m-1)a+nb=-ta+tb.

，消去t得：m-1=-2n.即m+2n="1. " ① 6分

又∵=-=ma+nb-a=(m-)a+nb.

=-=b-a=-a+b.

又∵C、M、B三点共线，∴与共线. 10分

∴存在实数t1,使得=t1,

∴(m-)a+nb=t1,∴，

消去t1得,4m+n="1 " ② 12分

由①②得m=,n=,

∴=a+b. 14分

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