平面向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图所示，在平行四边形ABCD中，M，N分别为DC，BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示，.

正确答案

=d-c，=c-d

方法一设=a，=b，

则a=+=d+

b=+=c+

将②代入①得a=d+

a=-c,代入②

得b=c+c-d

即=d-c，=c-d

方法二设=a，=b.

因M，N分别为CD，BC的中点，

所以=b，=a，

因而,

即=(2d-c), =(2c-d).

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题型：填空题

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填空题

给出下列命题中:① 向量满足，则与的夹角为；②是的夹角为锐角的充要条件；③ 将函数的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为，其中正确的命题有_______。

正确答案

①③

试题分析：根据向量加减法的几何意义画出图象知①正确；②中应有为非零向量，否则不成立；由图象的平移知③正确.

点评：研究向量问题是，一定要注意分清向量的夹角是所看到的角还是它的补角，此处很容易因忽略而出错，应认真对待.

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题型：填空题

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填空题

已知向量a=（2，-1），b=（-1，m），c=（-1,2），若（a+b）∥c，则m=

正确答案

-1

略

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题型：简答题

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简答题

如图所示，△ABC中，=，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上中线，交DE于N.设=a，=b，用a,b分别表示向量，，，，，.

正确答案

==b，=b-a，=(b-a)，=(b-a)，=a+(b-a)

=(a+b)，=(a+b)

==b.

=-=b-a.

由△ADE∽△ABC，得==(b-a).

由AM是△ABC的中线，∥BC，得

==(b-a).

而且=+=a+=a+(b-a)=(a+b).

==(a+b).

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C所对的边，且3a ＋4b＋5c＝0，则a∶b∶c＝________．

正确答案

20∶15∶12.

∵ 3a ＋4b＋5c＝0，∴ 3a(＋)＋4b＋5c＝0，∴ (3a－5c) ＋(3a－4b) ＝0.

∵ 在△ABC中，

∴ 、不共线，∴ 解得

∴ a∶b∶c＝a∶a∶a＝20∶15∶12.

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题型：填空题

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填空题

如图，是边长为的等边三角形，P是以C为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则

正确答案

1

解：因为,结合向量的数量积得到1。

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题型：简答题

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简答题

如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知=a，=b，=c，试用a、b、c表示，，+.

正确答案

=-a+b+c，=a-b-c.+= a-2b-c.

=++=-a+b+c，

∵=++，

∴=-,=-,=,

∴=a-b-c.

+=+++=2=a-2b-c.

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题型：简答题

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简答题

已知向量，求满足的实数的取值范围

正确答案

.………………… 3分

所以,

所以 ……………………6分

解得或.

不等式成立的x的取值范围是

略

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若

（1）求证：A＝B；（2）求边长c的值；（3）若求△ABC的面积．

正确答案

(Ⅰ) A＝B (Ⅱ) （III）

：（1）∵ ∴bccosA＝accosB，即bcosA＝acosB．-------2

由正弦定理得　sinBcosA＝sinAcosB, ∴sin(A－B)＝0．---------------3

∵－π＜A－B＜π, ∴A－B＝0，∴A＝B.----------------------4

（2）∵ ∴bccosA＝1. 由余弦定理得，即b2＋c2－a2＝2.----6

∵由（1）得a＝b，∴c2＝2，∴. ------8

（3）∵＝，∴ 即c2＋b2＋2＝6,--------10

∴c2＋b2＝4. ∵c2＝2, ∴b2＝2，即b＝. ∴△ABC为正三角形. -----------11

∴-----12

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题型：简答题

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简答题

设平面向量,若存在实数和角,其中，使向量,且.

(1).求的关系式;

(2).若,求的最小值,并求出此时的值.

正确答案

（1）

（2）时，为极小值也是最小值,最小值为.

(1)∵,且，∴

∴

(2)设,又∵，∴，则

令得(舍去)

∴时,时,∴时,即时，

为极小值也是最小值,最小值为.

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题型：填空题

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填空题

已知a、b为非零向量，，若，当且仅当时，取得最小值，则向量a、b的夹角为___________.

正确答案

试题分析：设向量的夹角为，则，构造函数，因为当且仅当时，取得最小值，所以当时，函数有最小值，即时，函数有最小值，又，所以解得.

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题型：填空题

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填空题

已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2，＝λe1－e2.若三点A、B、D共线，则λ＝________．

正确答案

8

∵ A、B、D共线，∴ 与共线，∴ 存在实数μ，使＝μ.∵ ＝－＝(λ－2)e1＋4e2，∴ 3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，

∴

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题型：填空题

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填空题

_________

正确答案

略

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题型：简答题

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简答题

( 本题满分12分)已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为,再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为.

(1) 若,试用表示；（2）证明：；

（3）若的外接圆的半径为，用表示.

正确答案

(Ⅰ) (Ⅱ) 略（Ⅲ）

（1）由平行四边形法则可得：即

（2）O是的外心，∣∣=∣∣=∣∣，

即∣∣=∣∣=∣∣,而，

=∣∣-∣∣=0，……..8分

（3）在中,O是外心A=，B= 于是 ∣∣2=（=

+2+2=（），

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题型：简答题

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简答题

若a,b为非零向量且a∥b,1,2∈R,且12≠0.

求证：1a+2b与1a-2b为共线向量.

正确答案

证明见解析

证明设a=(x1,y1),b=(x2,y2).

∵a∥b,b≠0,a≠0,∴存在实数m,使得a=mb,

即a=(x1,y1)=(mx2,my2),

∴1a+2b=((m1+2)x2,(m1+2)y2)

=(m1+2)(x2,y2)

同理1a-2b=(m1-2)(x2,y2),

∴(1a+2b)∥(1a-2b)∥b,

而b≠0,∴(1a+2b)∥(1a-2b).

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