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题型:填空题
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填空题

已知平面向量,且满足,则的取值范围为    ▲    .

正确答案

[1,3]

,设,则

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题型:简答题
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简答题

已知点G为△ABC的重心,过G作直线与AB、AC两边分别交于M、N两点,且=x=y,求+的值.

正确答案

+=3

根据题意G为三角形的重心,

=(+),

=-=(+)-x

=(-x)+,

=-=y-

=y-(+)

=(y--,

由于共线,根据共线向量基本定理知

=(-x)+

=

=

x+y-3xy=0两边同除以xy得+=3.

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题型:填空题
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填空题

已知P,Q为△ABC所在平面内的两点,且满足

,则_____。

正确答案

解:利用向量的关系式确定点P,Q的位置利用相似比得到面积比的求解为

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题型:填空题
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填空题

已知正方形的边长为2,点P为对角线AC上一点,则的最大值为            .

正确答案

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题型:填空题
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填空题

化简         

正确答案

      

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题型:填空题
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填空题

设点为三角形ABC的外心,       

正确答案

试题分析:出边AB,AC的垂线,利用向量的运算将表示,利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另个向量的投影的乘积.解:过O作OS⊥AB,OT⊥AC垂足分别为S,T 则S,T分别是AB,AC的中点,则 =

点评:本题考查向量的运算法则、向量数量积的几何意义.

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题型:简答题
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简答题

已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b= (-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标是多少?

正确答案

(,-)或(,-)

【错解分析】本题易错点常表现在不能正确把握单位向量的概念,从而无法解答,同时解答过程中如果不能正确转换平行条件,也是无法解答此题的。

【正解】方法一 设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1),则题意可知

,故填 (,-)或(,-)

方法二 与向量b= (-3,4)平行的单位向量是±(-3,4),

故可得a=±(-,),从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果。

【点评】①向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念。

②与a平行的单位向量e=±

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题型:填空题
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填空题

已知点所在平面上的一点,且,其中为实数,若点落在的内部,则的取值范围是  

正确答案

试题分析:如图,取靠近的三等分点,过的平行线交,过的平行线交,由平行线等分线段定理得因此,若从而,在边上;若的延长线上,即落在外.故要使点落在的内部,则

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题型:填空题
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填空题

设两个向量=(λ,λ-2cosα)和=(m,+sinα),其中λ、m、α为实数.若=2,则的取值范围是             .

正确答案

因为=2,所以,所以.

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填空题

在△ABC中,过中线AD中点E任作一条直线分别交边AB、AC于M、N两点,设=x =y  (xy≠0),则4x+y的最小值是________.

正确答案

因为D是BC的中点,E是AD的中点,所以  ( ).又 ,所以  .

因为M、E、N三点共线,所以=1,所以

4x+y=(4x+y)

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题型:填空题
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填空题

已知为棱长为1的正方体内(含正方体表面)任意一点,则 的最大值为          

正确答案

2

为原点,轴正方向,建立空间直角坐标系。则。设,则,当位于线段上时,取到最大值2

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题型:简答题
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简答题

如图所示,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.

正确答案

AP∶PM=4∶1

方法一 设e1=,e2=,

=+=-3e2-e1

=+=2e1+e2.

因为A、P、M和B、P、N分别共线,所以存在实数,使==-3e2-e1

==2e1+e2,∴=-=(+2)e1+(3+)e2

另外=+=2e1+3e2

,∴

=,=,∴AP∶PM=4∶1.

方法二 设=

=+)=+

=+.

∵B、P、N三点共线,∴-=t(-),

=(1+t)-t

+=1,=,∴AP∶PM=4∶1.

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题型:填空题
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填空题

若P、Q、R是边长为1的正边BC上的四等分点,则_______.

正确答案

本题考查向量的加法以及数量积的运算.

由数量积的运算法则有的中点,由向量的加法法则有,则

中,,则

因为是边长为1的正边BC上的四等分点,则,则

所以

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题型:填空题
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填空题

在空间直角坐标系O-xyz中,(其中i、j、k分别为X轴、y轴、z轴正方向上的单位向量).有下列命题:

①若,则的最小值为

②设,若向量与k共线且,则动点P的轨迹是抛物线;

③若,则平面MQR内的任意一点A (x,y,z)的坐标必然满足关系式

④设,若向量与j共线且,则动点P的轨迹是双曲线的一部分.   其中你认为正确的所有命题的序号为. _______

正确答案

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本题考查空间几何与平面向量的交汇。在①中正实数于是

,在2中向量与k共线且知道,并且点P到Q的距离(也就是Q所在直线距离)与P到点O距离相等,定义知P即是在yoz平面表示以定点O为焦点,定直线Q所在直线为准线的抛物线,故正确;在3中平面MQR在坐标面xoy、yoz、zox平面上的直线分别是,故正确;在4中向量与j共线及点P在XOY坐标平面,得出点N在X轴上,点M在YOZ坐标平面的直线Z=1上且与点P的y坐标等,再坐标化可以知道,故正确

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题型:填空题
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填空题

已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为60,则| a-2b|等于     

正确答案

2

,

.

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