平面向量_章节学习

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，点D在BC上（不含端点），且=r+s，则r+s=______．

正确答案

∵点D在BC上（不含端点），

∴=λ

又=-

∴=λ-λ

且=r+s，

故r+s=λ-λ，

由平面向量基本定理得：

∴r+s=0．

故答案为：0．

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题型：填空题

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填空题

已知M（-2，7）、N（10，-2），点P是线段MN上的点，且=-2，则P点的坐标为______．

正确答案

设P（x，y），则=(10-x，-2-y)，=(-2-x，7-y)，

∵=-2，

∴，

∴

∴P点的坐标为（2，4）．

故答案为：（2，4）

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题型：填空题

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填空题

在平面直角坐标系中，双曲线Γ的中心在原点，它的一个焦点坐标为(，0)，

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)分别是两条渐近线的方向向量．任取双曲线Γ上的点P，若=

ae

1+（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是______．

正确答案

因为

e

1=(2，1)、

e

2=(2，-1)是渐进线方向向量，

所以双曲线渐近线方程为y=±x，

又c=，∴a=2，b=1

双曲线方程为-y2=1，=

ae

1+=（2a+2b，a-b），

∴-(a-b)2=1，化简得4ab=1．

故答案为4ab=1．

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题型：填空题

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填空题

已知=+2，=-2，则2-3=______．

正确答案

已知=+2，=-2，则2-3=2+4-3+6=-+10；

故答案为：-+10．

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题型：简答题

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简答题

已知F1（-2，0），F2（2，0）两点，曲线C上的动点P满足|PF1|+|PF2| =|F1F2|．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）若直线l经过点M（0，3），交曲线C于A，B两点，且=，求直线l的方程．

正确答案

（Ⅰ）由已知可得|PF1|+|PF2| =|F1F2| =6＞|F1F2|=4，

故曲线C是以F1，F2为焦点，长轴长为6的椭圆，其方程为+=1．

（Ⅱ）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由条件可知A为MB的中点，

则有

将（3）、（4）代入（2）得+=1，整理为+-y1+=0．

将（1）代入上式得y1=2，再代入椭圆方程解得x1=±，

故所求的直线方程为y=±x+3．

方法二：依题意，直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+3．

由得（5+9k2）x2+54kx+36=0．令△＞0，解得k2＞．

设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，①x1x2=．②

因为=，所以A为MB的中点，从而x2=2x1．

将x2=2x1代入①、②，得x1=，x12=，

消去x1得()2=，

解得k2=，k=±．

所以直线l的方程为y=±x+3．

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题型：填空题

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填空题

已知点G是△ABC的重心，O是空间任一点，若++=λ，则实数λ=______．

正确答案

由于G是三角形ABC的重心，则有

++=，

-+-+-=

故++=3

又由已知++=λ

故可得λ=3

故答案为：3

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题型：简答题

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简答题

在△ABC中，角A、B、C的对边分别a、b、c，且2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

（1）求cosA的值；

（2）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

正确答案

（Ⅰ）由2cos2cosB-sin(A-B)sinB+cos(A+C)=-

可得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sin(A+c)=-，

可得cos(A-B)cosB-sin(A-B)sinB=-，

即cos(A-B+B)=-，

即cosA=-，

（Ⅱ）由正弦定理，=，所以sinB==，

由题意可知a＞b，即A＞B，所以B=，

由余弦定理可知(4)2=52+c2-2×5c×(-)．

解得c=1，c=-7（舍去）．

向量在方向上的投影：||cosB=ccosB=．

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题型：填空题

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填空题

在△ABC中，已知A（2，3），B（8，-4），点G（2，-1）在中线AD上，且||=2||，则C的坐标为______．

正确答案

设C（x，y），则D（，），

再由 =2，得（0，-4）=2（，），

∴4+x=0，-2+y=-4，即C（-4，-2）

故答案为：（-4，-2）．

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题型：填空题

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填空题

已知△ABC，D为AB边上一点，若=2，=+λ，则λ= ．

正确答案

∵=2，=+λ，=+=+=+( -

=+，∴λ=，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

已知PQ过三角形OAB的重心G，且P、Q分别在OA、OB上，设=，=，=m，=n，求+．

正确答案

设D为AB的中点

则=(+)，==(+)

∵P、Q、G共线

∴=λ+(1-λ)

即：(+)=λ+(1-λ)

∴消λ得+=3

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题型：简答题

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简答题

已知在△AOB中，O（0，0），A（0，5），B（4，3），，AD与BC 交于M点。（1）求点C、D的坐标；

（2）求点M的坐标。

正确答案

解：（1）由题意，知=（0，5），=（4，3），=（0，），

∴C点的坐标为（0，），D点的坐标为（2，）。

（2）直线AD的方程为7x+4y=20，

直线BC得方程为7x-16y=-20，

联立，得x=，y=2，

∴M的坐标为（，2）。

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题型：填空题

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填空题

已知向量=（2，4），=（1，1），若向量⊥（+λ），则实数λ的值是 ______．

正确答案

+λ=（2，4）+λ（1，1）=（2+λ，4+λ）．

∵⊥（+λ），

∴•（+λ）=0，

即（1，1）•（2+λ，4+λ）=2+λ+4+λ=6+2λ=0，

∴λ=-3．

故答案：-3

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题型：简答题

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简答题

如图，G是△OAB的重心，P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线，

（Ⅰ）设，将用λ，表示；

（Ⅱ）设，证明：是定值。

正确答案

解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）证明：一方面，由（Ⅰ），

得，①

另一方面，∵G是△OAB的重心，

∴，②

而不共线，

∴由①②，得，解得，

∴（定值）。

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题型：单选题

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单选题

直线2x-3y+1=0的一个方向向量是（　　）

A（2，-3）

B（2，3）

C（-3，2）

D（3，2）

正确答案

D

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题型：单选题

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单选题

在△ABC中，cos 2B＞cos 2A是A＞B的

(　　)

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

C

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正确答案

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