平面向量
共8529题

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题型：简答题

简答题

已知：向量，不共线．

（1）=-，=2-8，=3+3.求证：A，B，D共线．

（2）若向量λ-与-λ共线，求实数λ的值．

正确答案

证明：（1）=+=5-5=5

∴与共线

∴A、B、D共线

（2）∵λ-与-λ共线

∴存在实数k使得λ-=k(-λ)=k-λk

∵、不共线∴

∴λ=±1

题型：简答题

简答题

已知||=1，||=．

（1）若∥，求•；

（2）若向量与的夹角为60°，求|+|．

正确答案

（1）当与同向时，•=||×||cos0°=．

当与反向时，•=||×||cos180°=-．

（2）因为|+|2=(+)2=

2+2•+

2=||2+2||||cos60°+||2

=1+2×1××+2=3+，

所以|+|=

题型：填空题

填空题

已知O是坐标原点，A（2，-1）B（-4，8），+3=，=______．

正确答案

设=（x，y），

∵A（2，-1）B（-4，8），

∴=（-6，9），=（x+4，y-8）

又∵+3=，

∴x+4=2，y-8=-3

∴x=-2，y=5

故=（-2，5），

故答案为：（-2，5）

题型：填空题

填空题

对n个向量，，…，如果存在不全为零的实数k1，k2…kn使得k1+k2+…+kn=0，则称，，…线性相关．若已知=(1，1)，=(3，-2)，=(3，-7)是线性相关的，则k1：k2：k3=______．

正确答案

设k1 +k2 +k3 =，

则

当k3=1时，k1=3，k2=-2

故答案为3：（-2）：1

题型：填空题

填空题

已知在平面直角坐标系中，A（-2，0），B（1，3），O为原点，且=α+β，（其中α+β=1，α，β均为实数），若N（1，0），则||的最小值是______．

正确答案

∵=α+β（其中α+β=1，α，β均为实数）

=α+(1-α)=+α(-)=+α

∴=α

∴∥

∴A，B，M共线，

∴MN的最小值为N到直线AB的距离．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，∠AOC=45°，设=m+n(m，n∈R)，则=______．

正确答案

如图所示，建立直角坐标系．

则 =（1，0），=（0，），

∴=m +n

=（m，n），

∴tan45°==1

∴=．

故选B

题型：填空题

填空题

在△ABC中，点D满足=3，=λ-μ（λ，μ∈R），则λ•μ=______．

正确答案

∵点D满足=3，

∴=，

又=-，

∴=(-)，

∴=+=+(-)=-．

又=λ-μ，

∴λ=，μ=．

∴λμ=×=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知向量=（3，2），=（0，-1），那么向量3﹣的坐标是( )

正确答案

（﹣3，﹣5）

题型：填空题

填空题

在平行四边形ABCD中，，则=（）（用表示）．

正确答案

题型：填空题

填空题

设点P是△ABC内一点（不包括边界），且=m+n，m、n∈R，则m2+（n-2）2的取值范围是______．

正确答案

∵点P在△ABC内部，=m+n，

∴，

∵在直角坐标系mon内，表示平面区域内的点（m，n）到点（0，2）的距离．

∴数形结合知（0，2）到（0，1）的距离最小，到（1，0）的距离最大

∴最小距离为1，最大距离为=

m2+（n-2）2的取值范围是（1，5）

题型：填空题

填空题

D为△ABC的BC边的中点，若=p+q，则p+q=______．

正确答案

∵D为△ABC的BC边的中点，

∴==(-)= -

∴p=，q=-

p+q=0

故答案为0

题型：简答题

简答题

如图，在△OAB中，延长BA到C，使AC=BA，在OB上取点D，使DB=OB，DC与OA交于E，设=，=，用，表示向量，，．

正确答案

解：因为A是BC的中点，所以=（），

∴=2﹣=2﹣．

∴==2﹣﹣=2﹣．

由于D、E、C三点共线，

∴=λ·=λ（2﹣）=2λ+．

由于=+=﹣+μ=﹣+μ．

∴2λ+=﹣+μ，

故有 2λ=μ，λ=﹣．

解得 λ=，μ=．

∴=﹣．

题型：填空题

填空题

△ABC的三内角∠A、∠B、∠C所对边长分别是a，b，c，设向量m=（a+b，sinC）， n=（a+c，sinB-sinA），若m∥n，则∠B的大小为（）。

正确答案

题型：填空题

填空题

已知=a，=b，=λ，则=______．

正确答案

=+=+=+(-)=a+(b-a)=a+b．

故答案为：a+b

题型：填空题

填空题

已知单位向量满足|-|=|+2|，则向量在方向上的投影等于______．

正确答案

∵|-|=|+2|，∴(-)2=(+2)2，

展开化简可得：•=-

2，

故向量在方向上的投影等于||cos＜，＞

===-||=-

故答案为：-

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