平面向量_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

给出下列命题：

（1）存在实数x，使得sinx+cosx=；

（2）函数的图像关于点对称；

（3）△ABC中，sinA＞sinB的充要条件是A＞B；

（4）在平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD的形状一定是矩形；

则其中正确的是（）。（将正确判断的序号都填上）

正确答案

（3）、（4）

1

题型：简答题

|

简答题

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，-2)，B(2，3)，C(-2，-1)，

(Ⅰ)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长；

(Ⅱ)设实数t满足，求t的值。

正确答案

解：(Ⅰ)由题设知，

则，

所以，

故所求的两条对角线长分别为。

(Ⅱ)由题设知，

由，

得(3+2t，5+t)·(-2，-1)=0，

从而5t=-11，所以。

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆Γ的方程为（a>b>0），A（0，b）、B（0，-b）和 Q（a，0）为Γ的三个顶点。

（Ⅰ）若点M满足，求点M的坐标；

（Ⅱ）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E。若k1·k2=-，证明：E为CD的中点；

（Ⅲ）设点P在椭圆Γ内且不在x轴上，如何作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆Γ的两个交点P1、P2满足？令a=10，b=5，点P的坐标是（-8，-1）。若椭圆Γ上的点P1、P2满足，求点P1、P2的坐标。

正确答案

解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x0，y0），由题意可知

∴点M的坐标为；

（Ⅱ）证明：由

得（b2+a2k12）x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0

∴CD的中点坐标为

由

得l1与l2的交点E的坐标为

∴l1与l2的交点E为CD的中点；

（Ⅲ）设OF的斜率为k1，过F作斜率为的直线交椭圆P1、P2两点

由（Ⅱ）可知，F是P1P2的中点，四边形PP1QP2是平行四边形

所以

直线P1P2即为所求；

由a=10，b=5及点P（-8，-1）得PQ中点为

OS的斜率

过点S且斜率的直线l的方程是y=

记l与T的交点为P1、P2，则

由

解得P1（8，3），P2（-6，-4）。

1

题型：简答题

|

简答题

（难线性运算、坐标运算）已知0＜x＜1，0＜y＜1，求M=+++的最小值．

正确答案

设A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1），P（x，y），

则M=||+||+||+||=(||+||)+(||+||)

=(||+||)+(||+||)≥|+|+|+|

=||+||．

而=(1，1)，=(-1，1)，得||+||=+=2．

∴M≥2，当与同向，与同向时取等号，设=λ，=μ，

则1-x=λx，1-y=λy，-x=μx-μ，1-y=μy，解得λ=μ=1，x=y=．

所以，当x=y=时，M的最小值为2．

1

题型：简答题

|

简答题

已知向量a=（2，1），b=（-1，-1），求向量a+2b的坐标。

正确答案

解：∵a=（2，1），b=（-1，-1），

∴a+2b=（2，1）+2（-1，-1）

=（2，1）+（-2，-2）

=（0，-1）。

1

题型：填空题

|

填空题

若向量α，β满足|α+β|=|α-β|，则α与β所成角的大小为 ______．

正确答案

∵|+|=|-|

∴

α

2+2• +

β

2=

α

2-2•+

β

2

∴•=0

∴α与β所成角的大小为90°

故答案为90°

1

题型：填空题

|

填空题

已知=（1，2），b=（-2，1），则与2-b同向的单位向量是（）。

正确答案

（，）

1

题型：简答题

|

简答题

已知椭圆Γ的方程为，点P的坐标为(-a，b)，

(Ⅰ)若直角坐标平面上的点M、A(0，-b)、B(a，0)满足，求点M的坐标；

(Ⅱ)设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E。若k1·k2=，证明：E为CD的中点；

(Ⅲ)对于椭圆Γ上的点Q(acosθ，bsinθ)(0＜θ＜π)，如果椭圆Γ上存在不同的两点P1、P2使得

，写出求作点P1、P2的步骤，并求出使P1、P2存在的θ的取值范围。

正确答案

(Ⅰ)解：设点M的坐标为(x0，y0)，

∵，

∴，

于是，点M的坐标为。

(Ⅱ)证明：由得(b2+a2k12)x2+2a2k1px+a2p2-a2b2=0，

∴CD中点坐标为，

∵，

∴，

由得l1与l2的交点E的坐标为，

∴l1与l2的交点E为CD的中点．

(Ⅲ)解：第一步：取PQ的中点；

第二步：过点R作斜率为的直线交Γ于P1、P2两点，

由(Ⅱ)可知，R是P1P2的中点，则PP1QP2是平行四边形，

有，要使P1、P2存在，则点必须在椭圆内，

将代入椭圆Γ的方程，得，

当且仅当时，点R在椭圆内，

整理得(1+sinθ)2+(cosθ-1)2＜4，即2sinθ-2cosθ＜1，

亦即，

又0＜θ＜π，

∴。

1

题型：简答题

|

简答题

如图所示，在△ABC中，，AD与BC交于M点，设，

（Ⅰ）用，b表示；

（Ⅱ）在已知线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F，使EF过点M，设，求证：。

正确答案

（Ⅰ）解：设，

则m+nb-a=（m-1）a+nb，

，

由三点A，M，D共线，则AM，AD共线，

故有，

而，，

由三点C，M，B共线，则共线，

故有，

联立有，

故；

（Ⅱ）证明：，

qb-p=-pa+qb，

又共线，，

即得成立。

1

题型：简答题

|

简答题

已知向量a=（1，2），b=（-2，m），且a∥b，求2a+3b。

正确答案

解：因为a∥b，

所以m-（-2）×2=0，即m=-4，

故2a+3b=2（1，2）+3（-2，-4）=（-4，-8）。

1

题型：填空题

|

填空题

直线l：x-y-=0与抛物线y2=4x相交于A、B两点，与x轴相交于点F，若，则（）。

正确答案

1

题型：填空题

|

填空题

已知•=12，且||=5，则向量在向量方向上的射影为______．

正确答案

向量在向量方向上的射影为：

||cosθ===

故答案为：

1

题型：填空题

|

填空题

如图，在平面直角坐标系xOy中，圆x2+y2=r2（r＞0）内切于正方形ABCD，任取圆上一点P，若=a+b（a、b∈R），则a、b满足的一个等式是（）.

正确答案

a2+b2=

1

题型：填空题

|

填空题

如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且==1，=，若=，则λ+μ的值为（）。

正确答案

6

1

题型：填空题

|

填空题

在平面内，线段AB上的一点C，直线AB外一点P，满，，I为PC上一点，且（λ＞0），则的值为（）。

正确答案

2

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案