平面向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，在中，、分别为边、上的点，且，与交于，设存在和使，，.

（1）求及 .

（2）用，表示 .

正确答案

解：由于，

则，，

又

解之得，

此时

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题型：简答题

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简答题

已知向量=21-32，=21+32，其中1、2不共线，向量=21-92．问是否存在这样的实数λ、μ，使向量=λ+μ与共线？

正确答案

∵=λ（21-32）+μ（21+32）

=（2λ+2μ）1+（-3λ+3μ）2，

若与共线，则存在实数k≠0，使=k，

即（2λ+2μ）1+（-3λ+3μ）2=2k1-9k2，由得λ=-2μ．

故存在这样的实数λ、μ，只要λ=-2μ，就能使与共线．

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC中，=a，=b，对于平面ABC上任意一点O，动点P满足=+λa+λb，则动点P的轨迹是什么？其轨迹是否过定点，并说明理由．

正确答案

解：依题意，由=+λa+λb，

得，

即，

如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，对角线交于O，

则，

∴A、P、D三点共线，

即P点的轨迹是AD所在的直线，

由图可知P点轨迹必过△ABC边BC的中点。

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题型：简答题

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简答题

已知=(-3，1)，=(-1，-3)，求证：不论实数k为何值时都有k+2与2-k垂直。

正确答案

证明：“略”。

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题型：简答题

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简答题

已知直线l过椭圆E：x2+2y2=2的右焦点F，且与E相交于P，Q两点，

(1)设（O为原点），求点R的轨迹方程；

(2)若直线l的倾斜角为60°，求的值。

正确答案

解：(1)设，

，

由，易得右焦点F（1，0），

当直线l⊥x轴时，直线l的方程是：x=1，根据对称性可知R（1，0）；

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=k（x-1），

代入E有，，，

于是R（x，y）：x=，y=k（x-1），

消去参数k得，而R（1，0）也适上式，

故R的轨迹方程是。

(2)设椭圆另一个焦点为F′，

在中，设|PF|=m，则，

由余弦定理得，

同理，在，设|QF|=n，则，

也由余弦定理得，

于是。

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题型：简答题

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简答题

如图，平面内有三个向量：=、=、=，其中与的夹角为30°，与的夹角为120°，⊥，并且||=||=1，||=2，=m•+n•，(m，n∈R)．求：m，n的值．

正确答案

由题意得：•=3，

•=-

•=0

由=m+n

得

c

2=m•+n•

即12=m×2×，解得m=4

同理，=4•+n•

得•=4•+n

b

2

即0=4×（-）+n，得n=2

综上，m=4，n=2

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题型：简答题

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简答题

如图，已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，设=，=b，试用a，b分别表示、、。

正确答案

解：

，

。

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题型：简答题

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简答题

已知A(1，-2)，B(2，1)，C(3，2)和D(-2，3)，以、为一组基底来表示。

正确答案

解：由已知得：=(1，3)，=(2，4)，=(-3，5)，=(-4，2)，=(-5，1)，

∴=(-3，5)+(-4，2)+(-5，1) =(-12，8)，

设，

则(-12，8)=λ1(1，3)+λ2(2，4)，

∴，解得，

∴。

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题型：简答题

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简答题

已知O为坐标原点，A（0，1），B（3，4），，

（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；

（2）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线。

正确答案

解：（1）由，得

，

故点M在第二象限或第三象限的充要条件为。

（2）∵，

，

∴A，B，M三点共线。

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题型：填空题

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填空题

在平面内，线段AB上的一点C，直线AB外一点P，满足，

，I为PC上一点，且，则的值为（）。

正确答案

2

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题型：填空题

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填空题

如图，平面内有三个向量、、，其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为______．

正确答案

过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，

由∠BOC=90°，∠AOC=30°，

由||=||=1，||=2得平行四边形的边长为2和4，

λ+μ=2+4=6．

故答案为6．

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题型：填空题

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填空题

已知O是△ABC的外心，AB=2，AC=1，∠BAC=120°，若，则λ1+λ2的值为（）。

正确答案

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题型：填空题

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填空题

给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若x+y，其中x，y∈R，则(x-1)2+y2的最大值为（）。

正确答案

2

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题型：填空题

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填空题

如图，平面内有三个向量、、，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且=1，，若=（λ，μ∈R），则λ+μ的值为（）。

正确答案

6

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题型：填空题

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填空题

对于任意的两个实数对（a，b），（c，d），规定：（a，b）=（c，d），当且仅当a=c，b=d；定义运算“”为：，运算“”为：。设p，q∈R，若，则=（）。

正确答案

（2，0）

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