平面向量_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图：已知椭圆（a＞b＞0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且

，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若AB上的一点F满足，求证：CF平分∠BCA。

正确答案

（Ⅰ）解：∵，

∴，∠ACB=90°，

又，即，

∴△AOC是等腰直角三角形，

∵A（2，0），

∴C（1，1）而点C在椭圆上，

∴，∴，

∴所求椭圆方程为；

（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），得C（1，1），B（-1，-1），

又，

即，

即点F分所成的定比为2，

设F（x0，y0），

，

∴，CF⊥x轴，

∴∠ACF=∠FCB=45°，即CF平分∠BCA。

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，﹣2）、B（2，3）、C（﹣2，﹣1）．

（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；

（2）设实数t满足（）=0，求t的值．

正确答案

解：（1）（方法一）由题设知，

则

所以

故所求的两条对角线的长分别为、．

（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，

两条对角线的交点为E，则：

E为B、C的中点，E（0，1）

又E（0，1）为A、D的中点，

所以D（1，4）

故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；

（2）由题设知：=（﹣2，﹣1），．

由（）=0，得：（3+2t，5+t）（﹣2，﹣1）=0，

从而5t=﹣11，所以．或者：，，

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题型：填空题

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填空题

已知||=1，||=，=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=30°，设=m+n（m、n∈R），则等于( )

正确答案

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题型：简答题

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简答题

已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a）以i-2λc为方向向量的直线相交于点P，其中λ∈R，试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值。若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由。

正确答案

解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程，据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值

∵i=（1，0），c=（0，a），

∴c+λi=（λ，a），i-2λc=（1，-2λa）

因此，直线OP和AP的方程分别为和

消去参数λ，得点的坐标满足方程

整理得 ①

因为，所以得：

（i）当时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（ii）当时，方程①表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点；

（iii）当时，方程①也表示椭圆，焦点和为合乎题意的两个定点。

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题型：简答题

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简答题

如图，已知椭圆，A(2，0)是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且。

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)若AB上的一点F满足，求证：CF平分∠BCA；

(Ⅲ)对于椭圆上的两点P，Q，∠PCQ的平分线总是垂直于x轴时，是否存在实数λ，使得。

正确答案

(Ⅰ)解：∵，

∴，

又，即，

∴是等腰直角三角形，

∵，

∴C（1，1），而C在椭圆上，

∴，∴，

∴所求椭圆方程为。

(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得，

又，即，

即点F分所成的定比为2，

设，

∵，

∴，CF⊥x轴，

∴，即CF平分∠BCA。

(Ⅲ)解：对于椭圆上两点P，Q，

∵的角平分线总是垂直于x轴，

∴PC与CQ所在直线关于x=1对称，，则，

∵C（1，1），

则PC的直线方程为，①

QC的直线方程为，②

将①代入，得

，③

∵C（1，1）在椭圆上，

∴x=1是方程③的一个根，

∴，

同理将②代入，得

，④

∵C（1，1）在椭圆上，

∴x=1是方程④的一个根，

∴，

，

而，

∴，∴PQ∥AB，

∴存在实数λ，使得。

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题型：简答题

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简答题

在直角梯形ABCD中，，，已知=6+，=x+y，=-2-3（，分别是x，y轴方向上的单位向量），求实数x，y的值。

正确答案

解：，

∵，

∴，∴，

∴(x+4)=kx，且(y-2)=ky，

消去k得x+2y=0， ①

∵，

∴，

即2x+3y=-2， ②

由①②，解得：x=-4，y=2。

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题型：简答题

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简答题

平面内给定三个向量=（3，2），b=（-1，2），c=（4，1），

（Ⅰ）求满足=mb+nc的实数m、n；

（Ⅱ）若（+kc）⊥（2b-a），求实数k。

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，得，

由得，

解得：。

（Ⅱ）由题意，得（+kc）·（2b-）=0，

即，

∴，

解得：。

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题型：填空题

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填空题

若向量=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)满足条件(c-)·(2b)=-2，则x=（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

椭圆轴的正半辆分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为，该椭圆的离心率为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）是否存在过点的直线与椭圆交于M，N两个不同点，且对外任意一点Q，有成立？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

正确答案

解：（1）由题得，直线AB的方程为

由及，得

所以椭圆的方程为

（2） ①

当直线的斜率不存在时，，易知符合条件，此时直线方程为

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入

得

由，解得

设，

则 ②

③

由①得 ④

由②③④消去，得，即，矛盾，

综上，存在符合条件的直线

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题型：简答题

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简答题

已知F1，F2分别为椭圆C1：（a>b>0）的上下焦点，其中F1也是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且

（1）求椭圆C1的方程；

（2）已知点P（1，3）和圆O：x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A，B，在线段AB上取一点Q，满足，λ≠0且λ≠±1。求证：点Q总在某定直线上。

正确答案

解：（1）由C2：x2=4y知，F1（0，1），设M（x0，y0）（x0<0），

因M在抛物线C2上，故x02=4y0，

又|MF1|= ，则y0+1= ，得x0=，y0= ，

而点M在椭圆上，有，又c=1，

所以椭圆方程为

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x，y），

由AP=-λPB，得（1-x1，3-y1）=- λ（x2-1，y2-3），即 x1-λx2=（1-λ） ①

y1-λy2=3（1-λ） ②

由，得x1+λx2=（1+λ）x ③

y1+λy2=（1+λ）y， ④

∴①×③，得x12-λ2x22=（1-λ2）x ，

②×④，得y12-λ2y22=3y（1-λ2）

两式相加得（x12+y12）- λ2（x22+y22）=（1-λ22）（x+3y），

又点A，B在圆 x2+y2=b2上，由（1）知，即在圆x2+y2=3上，且λ≠±1，

∴x12+y12=3， x22+y22=3，即x+3y=3，

∴点Q总在定直线x+3y=3上

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题型：简答题

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简答题

已知向量a=（1，2），b=（cosα，sinα），设m=a+tb（t为实数）。

（1）若α=，求当|m|取最小值时实数t的值；

（2）若a⊥b，问：是否存在实数t，使得向量a-b和向量m的夹角为，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

正确答案

解：（1）因为

则

所以当时，|m|取到最小值，最小值为。

（2）由条件得

又因为|a-b|=

则有，且t＜5，

整理得t2+5t-5 =0

所以存在满足条件。

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题型：简答题

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简答题

已知向量，其中。

求（1）的值；

（2）

正确答案

解：（1）=10；=。

（2）。

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题型：简答题

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简答题

已知点P是⊙O：x2+y2=9上的任意一点，过P作PD垂直于x轴于D，动点Q满足，

(1)求动点Q的轨迹方程；

(2)已知点E(1，1)，在动点Q的轨迹上是否存在不重合的两点M，N，使(O是坐标原点)？若存在，求出直线MN的方程；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：(1)设P(x0，y0)，Q(x，y)，依题意，得点D的坐标为D(x0，0)，

所以，

又，

所以，即，

因为P在⊙O上，故，

所以，

所以Q点的轨迹方程为。

(2)假设椭圆上存在不重合的两点M(x1，y1)，N(x2，y2)满足，

则E(1，1)是线段MN的中点，且有，即，

又M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，

所以，

两式相减，得，

所以，

则直线MN的方程为4x+9y-13=0，

所以动点Q的轨迹上存在点M，N满足，

此时直线MN的方程为4x+9y-13=0．

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题型：简答题

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简答题

P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左、右定点，直线PM，PN的斜率之积为，

（1）求双曲线的离心率；

（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上的一点，满足，求λ的值。

正确答案

解：（1）已知双曲线E：，

在双曲线上，M，N分别为双曲线E的左右顶点，

所以M（-a，0），N（a，0），

直线PM，PN斜率之积为，

而，比较得；

（2）设过右焦点且斜率为1的直线L：y=x-c，交双曲线E于A，B两点，

则不妨设，

又，点C在双曲线E上：

， ①

又联立直线L和双曲线E方程消去y得：，

由韦达定理得：，，

代入①式得：或λ=-4。

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题型：简答题

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简答题

已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=9，

（1）求该抛物线的方程；

（2）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若，求λ的值。

正确答案

解：（1）直线AB的方程是，与y2=2px联立，从而有，

所以：，

由抛物线定义得：，所以p=4，

所以，抛物线的方程为：。

（2）由p=4，，化简得，

从而，

从而A：(1，-2)，B(4，4)，

设，

又，即8（4λ+1），

即，解得λ=0或λ=2。

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