热门试卷

（1）例如，当x=时，=(，)，=(-ln2，-ln2)=-2ln2•，∥

因为0＜x＜1，所以0＜1-x＜1，lnx＜0．ln（1-x）＜0.•=xlnx+(1-x)ln(1-x)＜0，从而与不垂直．

（2）函数f(x)=•=xlnx+(1-x)ln(1-x)

f′(x)=1nx+x•-ln(1-x)+(1-x)•=lnx-ln(1-x)，

令f′(x)=0得x=

当≤x＜时，x＜＜1-x，f′（x）＜0，f（x）在区间[，)上是减函数：

当＜x≤时，1-x＜＜x，f′（x）＞0，f（x）在区间(，]上是增函数；

所以f（x）在x=时取得最小值，且最小值f()=-ln2，

又f()=f()＜f()=ln+ln=ln3-21n2

故f（x）在x=时取得最大值，且最大值f()=ln3-2ln2．

（1）f(x)=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1当2x-=2kπ-，k∈Z，即x=kπ-，k∈Z时，f(x)取得最小值-2

f（x）的最小正周期为π

（2）由c=，f（C）=0，得C=，a2+b2-ab=3

由向量=(1， sinA)与向量=(2，sinB)共线，

得sinB=2sinA，

∴b=2a

解方程组

得a=1，b=2

（I）当x=时，

cosθ==

=-cosx=-cos=-

∴θ=

（II）∵f（x）=2•+1=2（-cos2x+sinxcosx）+1

=2sinxcosx-（2cos2x-1）

=2sin2x-cos2x=sin（2x-）

∴T==π

答：若x=时，两向量的夹角为；函数f（x）的最小正周期为π

（1）∵=（cos（α-β），-1），=（cos（α+β），2），且∥，

∴2cos（α-β）+cos（α+β）=0，即2（cosαcosβ+sinαsinβ）+cosαcosβ-sinαsinβ=0，

∴3cosαcosβ+sinαsinβ=0，又α，β≠kπ+（k∈Z），

∴tanα•tanβ=-3；

（2）∵=（sinα，sinβ），=（cos（α-β），-1），=（cos（α+β），2），

∴

a

2+•=sin2α+sin2β+cos（α-β）cos（α+β）-2

=sin2α+sin2β+cos2αcos2β-sin2αsin2β-2

=sin2α+（1-sin2α）sin2β+cos2αcos2β-2

=sin2α+cos2αsin2β+cos2αcos2β-2

=sin2α+cos2α（sin2β+cos2β）-2

=sin2α+cos2α+2

=1-2

=-1．

（1）=(1，sinθ)，=(1，cosθ)，+=（2，sinθ+cosθ）=（2，0）

∴，sinθ+cosθ=0，tanθ=-1

sin2θ+2sinθcosθ===-

（2）-=（0，sinθ-cosθ）=(0，)，sinθ-cosθ=两边平方的sinθcosθ=

θ∈（π，2π），且sinθcosθ=＞0，∴θ∈(π，)sinθ+cosθ＜0

sinθ+cosθ=-=-

（I）∵∥，∴2acosC=1×（2b-c），

根据正弦定理，得2sinAcosC=2sinB-sinC，

又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，

∴2cosAsinC-sinC=0，即sinC（2cosA-1）=0

∵C是三角形内角，sinC≠0

∴2cosA-1=0，可得cosA=

∵A是三角形内角，

∴A=，得sinA=            …（5分）

（II）+1=+1=2cosC（sinC-cosC）+1=sin2C-cos2C，

∴+1=sin（2C-），

∵A=，得C∈（0，），

∴2C-∈（-，），可得-＜sin（2C-）≤1，

∴-1＜sin（2C-）≤，

即三角函数式+1的取值范围是（-1，]．     …（11分）

（1）∵=（4cosα，sinα），=（sinβ，4cosβ），=（cosβ，-4sinβ）．

∴•=4cosαsinβ+4sinαcosβ=4sin(α+β)，•=4cos(α+β)，

∵•(-2)=0，

∴•=2•，

∴4sin（α+β）=8cos（α+β），

即tan（α+β）=2

（2）∵|+|==≤4，

即|+|的最大值为4

（3）∵∥∴16cosαcosβ-sinαsinβ=0，tanαtanβ=16，

==-

（1）∵=（2b-c，cosC），=（a，cosA），且∥        

∴（2b-c）cosA=acosC即（2sinB-sinC）cosA-sinAcosC=0（2分）

化简，得2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC=sin（A+C）

∵A+B+C=π，

∴2sinBcosA=sin（π-B）=sinB…（4分）

∵在锐角三角形ABC中，sinB＞0

∴两边约去sinB，得cosA=，

结合A是三角形的内角，得A=…（6分）

（2）∵锐角三角形ABC中，A=，∴＜B＜…（7分）

∴y=2sin2B+cos（-2B）=1-cos2B+cos2B+sin2B

=1+sin2B-cos2B=1+sin（2B-）…（9分）

∵＜B＜，∴＜2B-＜

∴＜sin（2B-）≤1，可得＜y≤2

∴函数y=2sin2B+cos（-2B）的值域为（，2]．…（12分）

（1）=(2-2sinA，cosA+sinA)  ，=（sinA-cosA，1+sinA）且与共线，得

（2-2sinA）（1+sinA）-（sinA-cosA）（cosA+sinA）=0

化简，得sinA=±

又△ABC是锐角三角形∴sinA=即A=

（2）由A=得B+C=，即C=-B

y=2sin2B+cos=2sin2B+cos(-2B)

=1-cos2B+coscos2B+sinsin2B

=1+sin2Bcos-cos2Bsin=sin(2B-)+1

∵-A＜B＜∴＜B＜

∴＜2B＜π∴＜2B-＜

∴＜sin(2B-)≤1．故 ＜sin(2B-)+1≤2

因此函数y=2sin2B+cos的值域为（，2]

（1）∵∥∴bcosC+（c-3a）cosB=0，（2分）

即sinBcosC+sinCcosB-3sinAcosB=0（3分）

∴sin（B+C）-3sinAcosB=0，又sin（B+C）=sinA

∴sinA（1-3cosB）=0（5分）

∵sinA≠0，∴cosB=，（6分）

（2）∵===-（8分）

∴tanA=2，tanB=2（9分）

∴tanC=-tan（A+B）=-==（12分）