弦切角的性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径的半圆O，与斜边AC交于D，E是BC边上的中点，连接DE．

（1）DE与半圆O相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；

（2）若AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根，求直角边BC的长．

正确答案

（1）解：DE与半圆O相切

证明：连OD，OE，如图，

∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥AC，

∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3

∴∠1=∠2，

又∵OD=OB，OE为公共边，

∴△OED≌△OEB，

∴∠ODE=∠OBE=90°．

∴DE与半圆O相切．

（2）解：∵AB为直径

∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，

∴△ABC∽△ADB．

∴，

∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根

∴解方程x2-10x+24=0得x1=4，x2=6

∵AD＜AB

∴AD=4、AB=6，

∴AC=9，

在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9

∴BC=．

解析

（1）解：DE与半圆O相切

证明：连OD，OE，如图，

∵E是BC边上的中点，AB是半圆O的直径，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE∥AC，

∴∠1=∠3，∠2=∠A，而OD=OA，∠A=∠3

∴∠1=∠2，

又∵OD=OB，OE为公共边，

∴△OED≌△OEB，

∴∠ODE=∠OBE=90°．

∴DE与半圆O相切．

（2）解：∵AB为直径

∴∠ADB=∠ABC=90°，∠CAB=∠CAB，

∴△ABC∽△ADB．

∴，

∵AD、AB的长是方程x2-10x+24=0的两个根

∴解方程x2-10x+24=0得x1=4，x2=6

∵AD＜AB

∴AD=4、AB=6，

∴AC=9，

在直角三角形ABC中，AB=6，AC=9

∴BC=．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是☉O的直径，AC是弦，∠BAC的平分线AD交☉O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E，OE交AD于点F．

（Ⅰ）求证：DE 是☉O的切线；

（Ⅱ）若=，求的值．

正确答案

（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，

OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，

又OD为半径，∴DE是⊙O切线．

（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，

cos∠DOH=cos∠CAB==，

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，

∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，

DH⊥AB，交AB于H，

∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，

又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，

∴====．

解析

（Ⅰ）证明：连结OD，由圆的性质得∠ODA=∠OAD=∠DAC，

OD∥AE，又AE⊥DE，∴DE⊥OD，

又OD为半径，∴DE是⊙O切线．

（Ⅱ）解：过D作DH⊥AB于H，则有∠DOH=∠CAB，

cos∠DOH=cos∠CAB==，

设OD=5x，则AB=10x，OH=2x，∴AH=7x，

∵∠BAC的平分线AD交⊙O于点D，DE⊥AC，

DH⊥AB，交AB于H，

∴△AED≌AHD，∴AE=AH=7x，

又OD∥AE，∴△AEF∽△DOF，

∴====．

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题型：填空题

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填空题

如图所示，AB是半径等于3的圆O的直径，CD是圆O的弦，BA，DC的延长线交于点P，若PA=4，PC=5，则∠CBD=______．

正确答案

30°

解析

解：由割线定理得，

PA×PB=PC×PD，

∵PA=4，PC=5，

∴4×10=5×PD，∴PD=8，

∴CD=8-5=3，

∴△CDO是等边三角形，

∴∠COD=60°，从而∠CBD=30°．

故填：30°或．

1

题型：填空题

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填空题

如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC相交于点D，若EB=8，EC=2，则ED=______．

正确答案

4

解析

解：∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，

而∠ABD=∠EAC，∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE．

∴EA=ED，∴ED2=EA2=EC•EB=16，

∴ED=4．

1

题型：填空题

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填空题

如图，AB是圆O的直径，过A、B的两条弦AC和BD相交于点P，若圆O的半径是3，则AC•AP+BD•BP的值______．

正确答案

36

解析

解：连接AD、BC，过P作PM⊥AB，则∠ADB=∠AMP=90°，

∴点D、M在以AP为直径的圆上；

同理：M、C在以BP为直径的圆上．

由割线定理得：AP•AC=AM•AB，BP•BD=BM•BA，

∴AP•AC+BP•BD=AM•AB+BM•AB=AB•（AM+BM）=AB2=36．

故答案为：36．

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题型：填空题

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填空题

如图，在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为______．

正确答案

解析

解：在Rt△ABC中，斜边AB=12，直角边AC=6，∴==6．

∵AB与⊙C相切与点D，连接CD，∴CD⊥AB．

∴S△ABC=，∴=．

∴⊙C的半径长为．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．

1（1）．（几何证明选讲选做题）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，

延长AB和DC相交于点P，若，则的值为______．

（2）．（坐标系与参数方程选做题）极坐标系中，A为曲线ρ2+2ρcosθ-3=0上

的动点，B为直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的动点，则|AB|距离的最小值为______．

正确答案

解析

解：（1）∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，

∴∠PBC=∠D，∠PCB=∠A，

∴△PBC∽△PDA，

设PB=x，PC=y，

∵，

∴PA=2x，PD=3y，

由△PBC∽△PDA，得=，

∴，解得y=，

∴===．

故答案为：．

（2）∵曲线ρ2+2ρcosθ-3=0的普通方程为x2+y2+2x-3=0，

∴曲线是圆心为（-1，0），半径为r==2的圆，

∵直线ρcosθ+ρsinθ-7=0的普通方程为x+y-7=0，

∴圆心为（-1，0）到直线的距离d==4，

∴|AB|距离的最小值为4．

故答案为：4．

1

题型：填空题

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填空题

如图，已知AB为圆O的直径，AC与圆O相切于点A，CE∥AB交圆O于D、E两点，若AB=2，CD=，则线段BE的长为______．

正确答案

解析

解：设CD=，则2×+DE=2，解得DE=，∴．

∵AC与圆O相切于点A，∴AC⊥AB，AC2=CD•CE==．

∴AD2=AC2+CD2=，解得．

∵CE∥AB，∴，∴BE=AD=．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

如图，过点C作半圆O的切线CB，切点为B，直线AC与半圆O的交点分别为A、E，过圆心O作OD⊥AC垂点为D．

（Ⅰ）若∠C=60°，CE=1，求BC的长；

（Ⅱ）求证OD•BC=OA•CE．

正确答案

（Ⅰ）解：连接BE，则∠AEB=90°，

∵∠C=60°，

∴BC=2CE=2；

（Ⅱ）证明：∵CB是半圆O的切线，

∴∠CBE=∠A，

∵∠CEB=∠ODA=90°，

∴△AOD∽△BCE，

∴，

∴OD•BC=OA•CE．

解析

（Ⅰ）解：连接BE，则∠AEB=90°，

∵∠C=60°，

∴BC=2CE=2；

（Ⅱ）证明：∵CB是半圆O的切线，

∴∠CBE=∠A，

∵∠CEB=∠ODA=90°，

∴△AOD∽△BCE，

∴，

∴OD•BC=OA•CE．

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题型：单选题

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单选题

如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，则AD•DE的值为（　　）

A50

B

C96

D100

正确答案

A

解析

解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，…（1分）

又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）

∴=，…（3分）

∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC．…（5分）

又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）

又知，=，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB=90°．

∴AC2+AB2=BC2=225，

∴AC=6 ，AB=3 ，CD=10，DB=5…（7分）

连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）

又∠CDE=∠ADB，

∴△CDE∽△ADB，

∴…（9分）

∴AD•DE=DB•CD=5×10=50．…（10分）

故选A．

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