弦切角的性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

如图所示，四边形MNPQ为圆内接四边形，对角线MP与NQ相交于点S，R为MN与QP延长线的交点，且MN=NP，∠MPQ=60°，△MPR为等腰三角形．

（Ⅰ）求∠PQM的大小；

（Ⅱ）若MN=3，求QM的长．

正确答案

解：（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，

∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R

∵∠MPQ=60°，

∴∠PMR=∠R=30°，

∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；

（Ⅱ）∵MN=NP，

∴∠NPM=30°，

∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，

∴PQ=3tan60°=3

∵MN=3，

∴MP=2×=3，

∵∠MPQ=60°，

∴QM=3．

解析

解：（Ⅰ）∵MN=NP，∴∠NMP=∠NPM，

∵△MPR为等腰三角形，PM=PR，∴∠NMP=∠R

∵∠MPQ=60°，

∴∠PMR=∠R=30°，

∴∠PQM=∠MQN+∠NQP=∠MPN+∠NMP=60°；

（Ⅱ）∵MN=NP，

∴∠NPM=30°，

∵∠MPQ=60°，∴∠NPQ=90°，

∴PQ=3tan60°=3

∵MN=3，

∴MP=2×=3，

∵∠MPQ=60°，

∴QM=3．

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题型：简答题

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简答题

如图，设AB，CD为⊙O的两直径，过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，连接AE，AF结分别与CD交于G，H．

（Ⅰ）设EF中点为C1，求证：O，C1，B，P四点共圆；

（Ⅱ）求证：OG=OH．

正确答案

证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，

过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C1，

∴∠OC1P=∠PBO=90°，

∴O，P，C1，B四点共圆．…（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC1=∠OBC1，

过F作FE1∥CD交AE于E1，交AB于D1，

连接D1C1，BC1，BF，

由D1F∥DC，知∠OPC1=∠D1FC1，

∴∠OBC1=∠D1FC1．

∴B，F，C1，D1，四点共圆．…（6分）

∴∠FBA=∠FC1D1=∠FEA，由此D1C1∥AE，…（8分）

∵C1是FE的中点，D1是FE1的中点，

∴，∴OG=OH．…（10分）

解析

证明：（Ⅰ）∵过B作PB垂直于AB，并与CD延长线相交于点P，

过P作直线与⊙O分别交于E，F两点，EF中点为C1，

∴∠OC1P=∠PBO=90°，

∴O，P，C1，B四点共圆．…（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）∠OPC1=∠OBC1，

过F作FE1∥CD交AE于E1，交AB于D1，

连接D1C1，BC1，BF，

由D1F∥DC，知∠OPC1=∠D1FC1，

∴∠OBC1=∠D1FC1．

∴B，F，C1，D1，四点共圆．…（6分）

∴∠FBA=∠FC1D1=∠FEA，由此D1C1∥AE，…（8分）

∵C1是FE的中点，D1是FE1的中点，

∴，∴OG=OH．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D，若AD=3，BD=2，且D为OC的中点，则CD的长为______．

正确答案

解析

解：延长CO交圆O于E，则CE是圆O的直径

∵D为OC的中点，CE=2OC

∴CE=4CD⇒DE=3CD

设CD长为x，DE长为3x

根据相交弦定理，得AD•BD=ED•CD

∴3×2=x•3x=3x2⇒x2=2

∴x=，即CD=

故答案为：

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题型：填空题

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填空题

如图，⊙O和⊙O′相交于A、B两点，过A作两圆的切线分别交两圆于C、D两点，连接DB、CB，已知BC=3，BD=4，则AB=______．

正确答案

2

解析

解：由AC与⊙O′相切于A，

得∠CAB=∠ADB，

同理∠ACB=∠DAB，

所以△ACB∽△DAB，

从而，

即AB2=BC•BD．

因为BC=3，BD=4，

所以AB=2．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

如图，AB、CD是圆O的两条平行弦，AF∥BD交CD于点E，交圆为O于点F，过B点的切线交CD的延长线于点P，若，则BD的长为______．

正确答案

解析

解：∵直线PB切圆O于点B，PDC是圆O的割线

∴PB2=PD×PC，得（）2=1×（1+CD），

解得CD=4，得PC=5，ED=CD-CE=3

∵∠PBD=∠PCB，∠BPD=∠CPB

∴△BPD∽△CPB，可得

设BD=x，则CB=x，设AF、BC的交点为G

∵AE∥BD，得，

∴GE=BD=x；CG=CB=x，BG=x，

平等四边形ABDE中，AE=BD=x，得AG=AE-GE=x

由相交弦定理，得AG•GF=CG•BG，即x•GF=x•x

解得GF=x，可得EF=GF-GE=x-x=x

又∵AE•EF=CE•ED，AE=EF=x，CE=1且ED=3

∴x2=1×3=3，解之得x=，即BD的长为

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3，过C作圆O的切线l，则点A到直线l的距离AD=______．

正确答案

解：∵圆O的直径AB=6，BC=3

∴∠BAC=30°，线段AC=3，

又∵直线l为圆O的切线，

∴∠DCA=∠B=60°

∴AD=．

故答案为：．

解析

解：∵圆O的直径AB=6，BC=3

∴∠BAC=30°，线段AC=3，

又∵直线l为圆O的切线，

∴∠DCA=∠B=60°

∴AD=．

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

如图，Rt△ABC中，C=90°，A=30°，圆O经过B、C且与AB、AC相交于D、E．若，则AD=______，圆O的半径r=______．

正确答案

3

解析

解：Rt△ABC中，C=90°，A=30°，知

B=60°，AB=8，BC=4

由切割线定理知AD*AB=AE*AC，即AD×8=

解得AD=3

连接BE，由题设条件知，BE是圆的直径，

在直角三角形BCE中，由勾股定理得BE==2

故圆的半径为

故答案为：3；

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题型：填空题

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填空题

如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知∠BPA=30°，BC=11，PB=1，则PA=______，圆O的半径等于______．

正确答案

7

解析

解：∵PA与⊙O相切于点A，∴PA2=PB•PC=1（1+11）=12，∴．

连接AB，AC，在△PAB中，由余弦定理可得AB2=PA2+PB2-2PA•PBcos30°==7．

∴AB=．

在△PAC中，由余弦定理可得AC2=PA2+PC2-2PA•PCcos30°==84．

在△ABC 中，由余弦定理可得cos∠ABC==．

∴=．

设⊙O的半径为R，则2R===14，解得R=7．

故答案分别为，7．

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题型：简答题

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简答题

如图，四边形ACBD内接于圆O，对角线AC与BD相交于M，AC⊥BD，E是DC中点连结EM交AB于F，作OH⊥AB于H，求证：

（1）EF⊥AB

（2）OH=ME．

正确答案

证明：（1）∵AC⊥BD，CE=DE，

∴ME=CE，∠CME=∠MCB，

∵∠ABM=∠MCB，∠AMF=∠EMC，

∴∠AMF=∠ABM，

∴∠FAM+∠AMF=∠ABM+MAB=90°，

∴EF⊥AB．

（2）∵E是CD的中点，∴OE⊥CD，OH⊥AB，

由（1）EF⊥AB，又OH⊥AB，

EF∥OH，同理，HM∥OE，

∴四边形HMEO是平行四边形，

∴OH=ME．

解析

证明：（1）∵AC⊥BD，CE=DE，

∴ME=CE，∠CME=∠MCB，

∵∠ABM=∠MCB，∠AMF=∠EMC，

∴∠AMF=∠ABM，

∴∠FAM+∠AMF=∠ABM+MAB=90°，

∴EF⊥AB．

（2）∵E是CD的中点，∴OE⊥CD，OH⊥AB，

由（1）EF⊥AB，又OH⊥AB，

EF∥OH，同理，HM∥OE，

∴四边形HMEO是平行四边形，

∴OH=ME．

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题型：简答题

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简答题

如图圆O和圆O′相交于A，B两点，AC是圆O′的切线，AD是圆O的切线，若BC=2，AB=4，求BD．

正确答案

解：∵AC是圆O′的切线，

∴∠CAB=∠BDA，

又AD是圆O的切线，

∴∠BCA=∠BAD，

∴△CBA∽△BAD，（5分）

所以，

即：

BD=8（10分）．

解析

解：∵AC是圆O′的切线，

∴∠CAB=∠BDA，

又AD是圆O的切线，

∴∠BCA=∠BAD，

∴△CBA∽△BAD，（5分）

所以，

即：

BD=8（10分）．

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正确答案

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