弦切角的性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3．过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于点D，E，则∠DAC=______，线段AE的长为______．

正确答案

30°

3

解析

解：①∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，∴∠ACB=90°；

∵AB=6，BC=3，∴，

∵∠ABC是锐角，∴∠ABC=60°．

由弦切角定理可得∠ACD=∠ABC=60°，

∵在Rt△ACD中，∴∠DAC=30°．

在Rt△ABC中，由勾股定理得=．

在Rt△ACD中，DC=ACcos60°=，由勾股定理得=，

由切割线定理得DC2=DE•DA，

∴=，∴AE=AD-DE==3．

故答案为30°，3．

1

题型：简答题

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简答题

（2015秋•惠东县校级月考）如图，圆O的直径AB=8，圆周上过点C的切线与BA的延长线交于点E，过点B作AC的平行线交EC的延长线于点P．

（Ⅰ）求证：BE2=CE•PE

（Ⅱ）若EC=2，求PB的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵AC∥BP，∴∠ACE=∠P …（1分）

∵CE是圆O的切线，

∴∠ACE=∠CBE，

∴∠CBE=∠P …（2分）

∵∠BEP=∠CEB，

∴△BEC∽△PEB …（3分）

∴，

∴BE2=CE•PE…（4分）

（Ⅱ）解：∵EC为圆O的切线，EC=2，AB=8，…（5分）

∴EC2=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2． …（6分）

∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，

∴=． …（7分）

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2．

∴AC=，…（9分）

由，可得PB=． …（10分）

解析

（Ⅰ）证明：∵AC∥BP，∴∠ACE=∠P …（1分）

∵CE是圆O的切线，

∴∠ACE=∠CBE，

∴∠CBE=∠P …（2分）

∵∠BEP=∠CEB，

∴△BEC∽△PEB …（3分）

∴，

∴BE2=CE•PE…（4分）

（Ⅱ）解：∵EC为圆O的切线，EC=2，AB=8，…（5分）

∴EC2=EA•EB=EA（EA+AB），∴EA=2． …（6分）

∵∠ECA=∠ABC，∴△ACE∽△CBE，

∴=． …（7分）

∵AB为圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴AC2+BC2=AB2．

∴AC=，…（9分）

由，可得PB=． …（10分）

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题型：填空题

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填空题

（2015•武昌区模拟）如图，已知△ABC的∠BAC的平分线与BC相交于点D，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，若EB=8，EC=2，则ED=______．

正确答案

4

解析

解：∵∠ADE=∠ABD+∠BAD，∠DAE=∠DAC+∠EAC，

而∠ABD=∠EAC，∠BAD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAE．

∴EA=ED，∴ED2=EA2=EC•EB=16，

∴ED=4．

故答案为：4．

1

题型：简答题

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简答题

如图，AB是圆O的直径，C是半径OB的中点，D是OB延长线上一点，且BD=OB，直线MD与圆O相交于点M、T（不与A、B重合），DN与圆O相切于点N，连接MC，MB，OT．

（Ⅰ）求证：DT•DM=DO•DC；

（Ⅱ）若∠DOT=60°，试求∠BMC的大小．

正确答案

证明：（1）因MD与圆O相交于点T，

由切割线定理DN2=DT•DM，DN2=DB•DA，

得DT•DM=DB•DA，设半径OB=r（r＞0），

因BD=OB，且BC=OC=，

则DB•DA=r•3r=3r2，，

所以DT•DM=DO•DC．

（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，

且∠TDO=∠CDM，

故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；

根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠DMC=30°，

即有∠BMC=15°．

解析

证明：（1）因MD与圆O相交于点T，

由切割线定理DN2=DT•DM，DN2=DB•DA，

得DT•DM=DB•DA，设半径OB=r（r＞0），

因BD=OB，且BC=OC=，

则DB•DA=r•3r=3r2，，

所以DT•DM=DO•DC．

（2）由（1）可知，DT•DM=DO•DC，

且∠TDO=∠CDM，

故△DTO∽△DCM，所以∠DOT=∠DMC；

根据圆周角定理得，∠DOT=2∠DMB，则∠DMC=30°，

即有∠BMC=15°．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD是半径，且弧CD=弧BD．求证：AC∥OD．

正确答案

证明：连结OC

∵∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，它们同对弧BC

∴∠BOC=2∠A

∵弧CD=弧BD，∴∠BOD=∠DOC=∠BOC

因此∠BOC=2∠BOD，可得∠A=∠BOD

∴AC∥OD

解析

证明：连结OC

∵∠A是圆周角，∠BOC是圆心角，它们同对弧BC

∴∠BOC=2∠A

∵弧CD=弧BD，∴∠BOD=∠DOC=∠BOC

因此∠BOC=2∠BOD，可得∠A=∠BOD

∴AC∥OD

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题型：填空题

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填空题

如图，PA、PB分别切⊙O于点 A、B，点C在⊙O的劣弧AB上，且∠ACB=130°，则∠P=______．

正确答案

80°

解析

解：连接OA，OB，

∵∠ACB=130°，

∴∠AOB=100°，

∵PA，PB是⊙O的切线，

∴∠PAO=∠PBO=90°，

∴∠P=360°-90°-90°-100°=80°．

故答案是：80°．

1

题型：填空题

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填空题

如图，PA与圆O相切点A，PCB为圆O的割线，并且不过圆心O，已知∠BPA=30°，，PC=1，则PB=______；圆O的半径等于______．

正确答案

12

7

解析

解：∵PA与圆O相切点A

∴PA2=PC•PB⇒，．

过A点作直径AD交PB于E，

由PA与圆O相切点A，得AP⊥AD

Rt△PAE中，∠P=30°，

∴AE=，PE=2AE=4

从而得到CE=3，BE=8

∵弦BC、AD相交于点E

∴AE•ED=CE•EB⇒

∴直径AD=AE+DE=14，得半径r=7．

故答案为：12，7．

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题型：简答题

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简答题

如图，菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E，F，G，H，在弧EF与GH上分别作圆O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q，求证：MQ∥NP．

正确答案

证明：设∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．则

由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=（180°-2β）=90°-β；

同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．

而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，

∵∠A=∠C

∴∠OCN=∠MAO

∴△CON∽△AMO，

∴AM：AO=CO：CN，即AM•CN=AO2．

同理，AQ•CP=AO2，∴AM•CN=AQ•CP．

∴△AMQ∽△CPN，∴∠AMQ=∠CPN．

∴MQ∥NP．

解析

证明：设∠ABC=2α，∠BNM=2β，∠BMN=2γ．则

由ON平分∠ONM，得∠ONC=∠ONM=（180°-2β）=90°-β；

同理，∠OMN=∠OMA=90°-γ．

而∠CON=180°-∠OCN-∠ONC=β+α=90°-γ，

∵∠A=∠C

∴∠OCN=∠MAO

∴△CON∽△AMO，

∴AM：AO=CO：CN，即AM•CN=AO2．

同理，AQ•CP=AO2，∴AM•CN=AQ•CP．

∴△AMQ∽△CPN，∴∠AMQ=∠CPN．

∴MQ∥NP．

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上的一点，过P作⊙O的切线，切点为C，AB=20，∠BAC=30°，AD⊥PC于D，则DE的长为______．

正确答案

5

解析

解：由题意，∠DCA=60°，

∵AB=20，∠BAC=30°，

∴AC=10，

∵AD⊥PC于D，

∴CD=5，AD=15，

∵CD是⊙O的切线，

∴由切割线定理可得（5）2=DE•15，

∴DE=5．

故答案为：5．

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题型：填空题

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填空题

如图AB是⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，PC=4，PB=2则∠APC的正弦值等于______．

正确答案

解析

解：连接OC，

∵PC切⊙O于点C，

∴OC⊥PC且PC2=PA•PB

∵PC=4，PB=2，

∴PA==8，可得直径AB=6，

∴OC=OB=3，OP=2+3=5

Rt△OCP中，sin∠APC==

故答案为：

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