弦切角的性质_章节学习

1

题型：简答题

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简答题

已知AB、DE为圆O的直径，CD⊥AB于N，N为OB的中点，EB与CD相交于点M，切线EF与DC的延长线交于点F．

（1）求证：EF=FM；

（2）若圆O的半径为1，求EF的长．

正确答案

（1）证明：连接AE，

∵AB为圆O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵CD⊥AB，

∴A，E，M，N四点共圆，

∴∠FME=∠EAB，

∵EF是圆O的切线，

∴∠FEB=∠EAB，

∴∠EMF=∠FEB，

∴EF=FM；

（2）解：连接EC，

∵DE为圆O的直径，

∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=EC，

∵圆O的半径为1，N为OB的中点，

∴EC=1，CD=，

Rt△DEF中，EC2=FC•CD，∴FC=

∴EF2=FC•FD=，∴EF=．

解析

（1）证明：连接AE，

∵AB为圆O的直径，

∴∠AEB=90°，

∵CD⊥AB，

∴A，E，M，N四点共圆，

∴∠FME=∠EAB，

∵EF是圆O的切线，

∴∠FEB=∠EAB，

∴∠EMF=∠FEB，

∴EF=FM；

（2）解：连接EC，

∵DE为圆O的直径，

∴EC⊥CD，ON∥EC，ON=EC，

∵圆O的半径为1，N为OB的中点，

∴EC=1，CD=，

Rt△DEF中，EC2=FC•CD，∴FC=

∴EF2=FC•FD=，∴EF=．

1

题型：单选题

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单选题

如图，PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=2，PA=1，∠P=60°，则BC=（　　）

A3

B2

C3

D2

正确答案

D

解析

解：∵PC是⊙O的切线，C为切点，PAB为割线，PC=2，PA=1，

∴4=1×PB，

∴PB=4，

△PBC中，BC==2．

故选：D．

1

题型：填空题

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填空题

（2015春•重庆校级月考）如图，在△ABC中，C=，A=，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，若DE的长为2，则AC=______．

正确答案

10

解析

解：设AB=2r，则

在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2r，

∴BC=AB•sin60°=r．

∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．

在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=r，BD=BC•sin60°=r．

由切割线定理可得CD2=DE•DB，

∴（r）2=5•r，解得r=10．

∴AB=20，AC=10

故答案为：10．

1

题型：简答题

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简答题

如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．

（1）求证：ED2=EC•EB

（2）若BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，CE=1．求AC长．

正确答案

（1）证明：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，

∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．

∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．

结合EA=ED，得ED2=EC•EB；

（2）解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE，

∵∠E=∠E，

∴△EAC∽△EBA，

∴，

∵BC=2，CE=1，

∴EA=，，

∵BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，

∴AC=1．

解析

（1）证明：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，

∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．

∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．

结合EA=ED，得ED2=EC•EB；

（2）解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE，

∵∠E=∠E，

∴△EAC∽△EBA，

∴，

∵BC=2，CE=1，

∴EA=，，

∵BC是△ABC的外接圆的直径，且BC=2，

∴AC=1．

1

题型：填空题

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填空题

如图所示：圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，∠BAC=30°，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线，垂足为D，则CD的长为______．

正确答案

解析

解：连结BC，

∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°

∵∠BAC=30°，AB=6，

∴BC=AB=3，AC=AB=3，∠B=60°

又∵直线CD切圆O于C，∴∠DCA=∠B=60°

因此，Rt△ADC中，CD=AC=

故答案为：

1

题型：填空题

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填空题

如图，AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，PD切圆O于点C．已知圆O半径为，OP=2，则PC=______；∠ACD的大小为______．

正确答案

1

75°

解析

解：连接OC，

∵AB是圆O的直径，P在AB的延长线上，

PD切圆O于点C．圆O半径为，OP=2，

∴PB=2-，PA=2+，

∴PC2=PB•PA

==1，

∴PC=1．

在Rt△OCP中，

∵∠OCP=90°，PC=1，OP=2，

∴∠COP=30°，

∴∠OCA=15°，

∴∠ACD=90°-15°=75°．

故答案为：1，75°．

1

题型：简答题

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简答题

从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB及一条割线PCD，A、B为切点．求证：．

正确答案

证明：△CAP∽△ADP，①

△CBP∽△BDP，②

又AP=BP，③

由①②③知：，

故．得证．

解析

证明：△CAP∽△ADP，①

△CBP∽△BDP，②

又AP=BP，③

由①②③知：，

故．得证．

1

题型：填空题

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填空题

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则EC=______．

正确答案

4

解析

解：∵PA是圆O的切线，∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3．

∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC，∴∠PAC=∠ABC=60°，

∵△APE中，PE=PA，∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3．

∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2

∵圆O中，弦AC、BD相交于E，

∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，∴EC=4，

故答案为：4．

1

题型：填空题

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填空题

（选做题）（几何证明选讲选做题）如图，直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD=2，则∠C的大小为______．

正确答案

30°

解析

解：∵∠B=90°，AB=4，BC为圆的直径

∴AB与圆相切，

由切割线定理得，

AB2=AD•AC

∴AC=8

故∠C=30°

故答案为：30°

1

题型：填空题

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填空题

（几何证明选讲选做题）

如图所示，已知圆O的半径为2，从圆O外一点A引切线AB和割线AD，C为AD与圆O的交点，圆心O到AD的距离为，，则AC的长为______．

正确答案

3

解析

解：因为圆O的切线AB和割线AD，所以由切割线定理可知AB2=AC•AD，

圆心O到AD的距离为，圆O的半径为2，

所以CD=2=2，，

所以AB2=AC•（AC+CD），即 15=AC•（AC+2），

解得AC=3，

故答案为：3．

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