弦切角的性质_章节学习

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题型：单选题

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单选题

已知圆C的方程为x2+y2=4，直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．过点（0，1）作直线l1与l垂直，且直线l1与圆C交于M、N两点，则四边形PMQN面积的大值（　　）

A1

B3

C5

D7

正确答案

D

解析

解：设圆心O到直线l，l1的距离分别为d，d1，

四边形PMQN的面积S，

∵直线l，l1都经过点（0，1），且l⊥l1，

根据题勾股定理，知d12+d2=1，

又根据垂径定理和勾股定理，得到

，|MN|=2，

而，

即×2×

=

≤

=2

=7．

当且仅当d1=d时，等号成立，

所以S的最大值为7．

1

题型：填空题

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填空题

如图，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP=______．

正确答案

a

解析

解：因为点P是AB的中点，由垂径定理知，OP⊥AB．

在Rt△OPA中，．

由相交弦定理知，BP•AP=CP•DP，

即，所以．

故填：．

1

题型：填空题

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填空题

如图所示，圆O的直径AB=10，C为圆周上一点，BC=5，过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为______．

正确答案

解析

解：因为C为圆周上一点，AB是直径，所以AC⊥BC，

而BC=5，AB=10，∠BAC=30°，从而得∠B=60°，

所以∠DCA=60°，

又∠ADC=90°，得∠DAC=30°，

所以．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

如图，已知切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B，C，点D在线段BC上，且DC=2BD，∠BAD=∠PAB，，PB=4，则线段AB的长为______．

正确答案

2

解析

解：因为切线PA切圆于点A，割线PBC分别交圆于点B，C，，PB=4，

所以40=4PC，

所以PC=10，

所以BC=6，

因为DC=2BD，

所以BD=2，DC=4，

因为∠BCA=∠PAB，∠BAD=∠PAB，

所以△BCA∽△BAD，

所以，

所以BA=2．

故答案为：2．

1

题型：简答题

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简答题

已知BC为圆O的直径，点A为圆周上一点，AD⊥BC于点D，过点A作圆O的切线交BC的延长线于点P，过点B作BE垂直PA的延长线于点E．求证：

（1）PA•PD=PE•PC；

（2）AD=AE．

正确答案

证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，

所以△APD∽△BPE，

所以，

所以AP•PE=PD•PB，

因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，

所以PA2=PB•PC，

所以=，

所以PA•PD=PE•PC；

（2）连接AC，DE，

因为BC为圆O的直径，

所以∠BAC=90°，

所以AB⊥AC．

因为=，

所以AC∥DE，

所以AB⊥DE，

因为AD⊥BP，BE⊥AP，

所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，

因为AB⊥DE，

所以AD=AE．

解析

证明：（1）因为AD⊥BP，BE⊥AP，

所以△APD∽△BPE，

所以，

所以AP•PE=PD•PB，

因为PA，PB分别为圆O的切线与割线，

所以PA2=PB•PC，

所以=，

所以PA•PD=PE•PC；

（2）连接AC，DE，

因为BC为圆O的直径，

所以∠BAC=90°，

所以AB⊥AC．

因为=，

所以AC∥DE，

所以AB⊥DE，

因为AD⊥BP，BE⊥AP，

所以A，D，B，E四点共圆且AB为直径，

因为AB⊥DE，

所以AD=AE．

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题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．

正确答案

5

解析

解：在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=20，∴BC=AB•sin60°=．

∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．

在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=，BD=BC•sin60°=15．

由切割线定理可得CD2=DE•DB，∴，解得DE=5．

故答案为5．

1

题型：填空题

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填空题

如图，△ABC是圆O的内接三角形，PA是圆O的切线，A为切点，PB交AC于点E，交圆O于点D，若PE=PA，∠ABC=60°，且PD=2，BD=6，则AC=______．

正确答案

6

解析

解：∵PD=2，BD=6，∴PB=PD+BD=8

由切割线定理得PA2=PD•PB=16

∴PA=4

又∵PE=PA，∴PE=4

又∠PAC=∠ABC=60°

∴AE=4

又由DE=PE-PD=2

BE=BD-DE=4

由相交弦定理可得：AE•CE=BE•ED=8，即CE=2

∴AC=AE+CE=6

故答案为：6．

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题型：填空题

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填空题

如图，PA是⊙O的切线，A 为切点，直线 PB交⊙O于D、B两点，交弦AC 于E 点，且AE=4，EC=3，BE=6，PE=6，则 AP=______．

正确答案

解析

解：由相交弦定理可得：AE•EC=BE•ED，∵AE=4，EC=3，BE=6，∴4×3=6ED，解得ED=2．

∵PE=ED+PD=6，∴PD=4．

∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PD•PB=4×（6+6）=48，∴PA=4．

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

如图，已知四边形ABCD内接于半径为3的圆，且AB是圆的直径，过点D的圆的切线与BA的延长线交于点M，∠BMD的平分线分别交AD、BD于点E、F，AC、BD交于点P．

（Ⅰ）证明：DE=DF；

（Ⅱ）若DM=3，AP=2CP=2，求BP的长．

正确答案

（Ⅰ）证明：∵MD是切线，AD是弦，

∴∠ADM=∠ABD，

∵∠BMF=∠DMF，

∴∠BMF+∠ABD=∠ADM+∠DMF，

∵∠DEF=∠ADM+∠DMF，∠DFE=∠BMF+∠ABD，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DE=DF；

（Ⅱ）解：连接OD，则

∵MD是切线，

∴OD⊥MD，

∵OD=3，MD=3，

∴∠MOD=60°，∴∠ABD=30°，

Rt△ABD中，AB=6，∴BD=ABcos∠ABD=3，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴AP•PC=BP•PD，

∴2=BP•（3-BP），

∴BP=或2，

∵BP＞CP，∴BP=2．

解析

（Ⅰ）证明：∵MD是切线，AD是弦，

∴∠ADM=∠ABD，

∵∠BMF=∠DMF，

∴∠BMF+∠ABD=∠ADM+∠DMF，

∵∠DEF=∠ADM+∠DMF，∠DFE=∠BMF+∠ABD，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DE=DF；

（Ⅱ）解：连接OD，则

∵MD是切线，

∴OD⊥MD，

∵OD=3，MD=3，

∴∠MOD=60°，∴∠ABD=30°，

Rt△ABD中，AB=6，∴BD=ABcos∠ABD=3，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴AP•PC=BP•PD，

∴2=BP•（3-BP），

∴BP=或2，

∵BP＞CP，∴BP=2．

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点．

求证：（1）CD=CM=CN；

（2）CD2=AM•BN．

正确答案

证明：（1）连接CA、CB，

则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°

∴CD2=AD•DB

由（1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM•BN．

解析

证明：（1）连接CA、CB，

则∠ACB=90°∠ACM=∠ABC，∠ACD=∠ABC

∴∠ACM=∠ACD∴△AMC≌△ADC

∴CM=CD同理CN=CD∴CD=CM=CN

（2）∵CD⊥AB，∠ACD=90°

∴CD2=AD•DB

由（1）知AM=AD，BN=BD

∴CD2=AM•BN．

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