弦切角的性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选修4-1：几何证明选讲

如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E．

（Ⅰ）求证：CD2=DE•DB；

（Ⅱ）若CD=2，O到AC的距离为1，求⊙O的半径r．

正确答案

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD

∵∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD

∵∠BDC=∠EDC，∴△BCD∽△CED

∴，

∴CD2=DE•DB；

（II）解：∵D是弧AC的中点

∴OD⊥AC，设垂足为F

在直角△CFO中，OF=1，OC=r，CF=r2-1

在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴（2）2=（r2-1）+（r-1）2

∴r2-r-6=0

∴（r-3）（r+2）=0

∴r=3

解析

（I）证明：连接OD，OC，由已知D是弧AC的中点，可得∠ABD=∠CBD

∵∠ABD=∠ECD，∴∠CBD=∠ECD

∵∠BDC=∠EDC，∴△BCD∽△CED

∴，

∴CD2=DE•DB；

（II）解：∵D是弧AC的中点

∴OD⊥AC，设垂足为F

在直角△CFO中，OF=1，OC=r，CF=r2-1

在直角△CFD中，DC2=CF2+DF2∴（2）2=（r2-1）+（r-1）2

∴r2-r-6=0

∴（r-3）（r+2）=0

∴r=3

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题型：填空题

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填空题

如图，已知△ABC内接于圆O，点D在OC的延长线上，AD是圆O的切线，若∠OAC=60°，AC=1，则AD的长为______．

正确答案

解析

解：∵OC=OA，∠OAC=60°，

∴△OAC是等边三角形，可得OA=AC=1，∠O=60°．

又∵AD与圆O相切于点A，∴OA⊥AD，

Rt△OAD中，tan∠O=，可得AD==．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使BC=，CD切半圆O于点D，DE⊥AB，垂足为E．若AE：EB=3：1，求DE的长．

正确答案

解：连接AD、DO、DB．

由AE：EB=3：1，得DO：OE=2：1．

又DE⊥AB，所以∠DOE=60°．

故△DOB为正三角形．…（5分）

于是∠DAC=30°=∠BDC．

而∠ABD=60°，故∠C=30°=∠BDC．

所以DB=BC=．

在△OBD中，DE=DB=．…（10分）

解析

解：连接AD、DO、DB．

由AE：EB=3：1，得DO：OE=2：1．

又DE⊥AB，所以∠DOE=60°．

故△DOB为正三角形．…（5分）

于是∠DAC=30°=∠BDC．

而∠ABD=60°，故∠C=30°=∠BDC．

所以DB=BC=．

在△OBD中，DE=DB=．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为______．

正确答案

4

解析

解：连接OC，BE，如下图所示：

则∵圆O的直径AB=8，BC=4，

∴△OBC为等边三角形，∠COB=60°

又∵直线l是过C的切线，故OC⊥直线l

又∵AD⊥直线l

∴AD∥OC

故在Rt△ABE中∠A=∠COB=60°

∴AE=AB=4

故答案为：4

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题型：简答题

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简答题

如图所示，半径为5的圆O的两条弦AD和BC相交于点P，OD⊥BC，P为AD的中点，BC=6，则弦AD的长度为______．

正确答案

解：连接OC，设DO交BC于点M，则MC=3，

由OC=5，∴．

∴MD=5-4=1．由P为AD的中点，可知OP⊥AD．

在RT△OPD中，PM2=OM•MD=4×1，

∴PM=2．∴PC=2+3，PB=3-2=1，

由相交弦定理可得PD2=PB•PC=1×5，∴．

∴．

故答案为2．

解析

解：连接OC，设DO交BC于点M，则MC=3，

由OC=5，∴．

∴MD=5-4=1．由P为AD的中点，可知OP⊥AD．

在RT△OPD中，PM2=OM•MD=4×1，

∴PM=2．∴PC=2+3，PB=3-2=1，

由相交弦定理可得PD2=PB•PC=1×5，∴．

∴．

故答案为2．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，直线MN切⊙O于点C，BE∥MN交AC于点E．若AB=6，BC=4，则AE的长为______．

正确答案

解析

解：直线MN切⊙O于点C，∴∠MCB=∠BAC，

∵BE∥MN交AC于点E，∴∠MCB=∠EBC．

∴△ABC∽△BCE．

∴，∴==．

∴．

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题型：填空题

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填空题

如图，AC为⊙O的直径，弦BD⊥AC于点P，PC=2，PA=8，则cos∠ACB的值为 ______．

正确答案

解析

解：由射影定理得CD2=CP•CA=2×10，

∴，

则cos∠ACB

=sin∠A

=sin∠D

=．

故答案为：

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题型：简答题

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简答题

如图，在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，以点B为圆心，线段BC的长为半径的半圆交AB所在直线于点E、F，交线段AC于点D，则线段AD的长为______．

正确答案

解：如图，∵在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，

∴AC==7，

∵以点B为圆心，线段BC的长为半径的半圆

交AB所在直线于点E、F，交线段AC于点D，

∴AE=5-3=2，AF=5+3=8，

∴AD•AC=AE•AF，

∴AD==，

故答案为：．

解析

解：如图，∵在△ABC中，AB=5，BC=3，∠ABC=120°，

∴AC==7，

∵以点B为圆心，线段BC的长为半径的半圆

交AB所在直线于点E、F，交线段AC于点D，

∴AE=5-3=2，AF=5+3=8，

∴AD•AC=AE•AF，

∴AD==，

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

过圆O外一点A作圆O的两条切线AT、AS，切点分别为T、S，过点A作圆O的割线APN，证明：．

正确答案

证明：∵AT为圆O的切线，

∴∠ATP=∠ANT，∵∠APN=∠PTN+∠ANT，∠ATN=∠ATP+∠PTN，

∴∠ATN=∠APT，∴△ATN∽△APT，…3分

∴，…4分

∴同理可得△ASN∽△APS，

∴，…6分

∴===；…8分

故…10分

解析

证明：∵AT为圆O的切线，

∴∠ATP=∠ANT，∵∠APN=∠PTN+∠ANT，∠ATN=∠ATP+∠PTN，

∴∠ATN=∠APT，∴△ATN∽△APT，…3分

∴，…4分

∴同理可得△ASN∽△APS，

∴，…6分

∴===；…8分

故…10分

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题型：简答题

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简答题

（几何证明选做题）

如图，钝角△ABC中，A=45°，CD⊥AB于D，设圆O是以CD为直径的圆，且此圆交BC，AC分别于E，F两点，则∠CEF=______．

正确答案

解：连结DF，

∵CD⊥AB于D，∠A=45°，∴CD=AD，△ACD是等腰直角三角形，

∵CD是圆O的直径，∴DF⊥AC，可得∠CDF=45°，

又∵圆O中，∠CDF与∠CEF同对劣弧CF，

∴∠CEF=∠CDF=45°．

故答案为：45°

解析

解：连结DF，

∵CD⊥AB于D，∠A=45°，∴CD=AD，△ACD是等腰直角三角形，

∵CD是圆O的直径，∴DF⊥AC，可得∠CDF=45°，

又∵圆O中，∠CDF与∠CEF同对劣弧CF，

∴∠CEF=∠CDF=45°．

故答案为：45°

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