弦切角的性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

如图，圆O的半径为l，直线AB与圆O相切于点B，且，连接A0并延长交圆O于C、D两点，则△ABC的面积为______．

正确答案

解析

解：∵直线AB与圆O相切于点B，∴AB2=AC•AD．

∵r=1，．

∴，解得AC=1．

连接OB，则OB⊥AB．

在Rt△OAB中，，∴A=30°．

∴==．

故答案为．

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题型：填空题

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填空题

如图，点C是圆O的直径BE的延长线上一点，AC是圆O的切线，A为切点，∠ACB的平分线CD与AB相交于点D，与AE相交于点．F

（Ⅰ）求∠ADF的度数；（Ⅱ）若AB=AC，求的值．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）∵AC是⊙O的切线，∴∠B=∠EAC．

又∵DC是∠ACB的平分线，∴∠ACD=∠DCB，

∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD，∴∠ADF=∠AFD．

∵BE是⊙O直径，∴∠BAE=90°．

∴∠ADF=45°．

（Ⅱ）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB=∠EAC．

由（I）得∠BAE=90°，∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90°，

∴∠B=30°．

∵∠B=∠EAC，∠ACB=∠ACB，

∴△ACE∽△BCA，

∴==tan30°=．

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题型：简答题

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简答题

如图，PA，PB是圆O的两条切线，A，B为切点，PCN为圆O的割线，M为PN于AB的交点．证明：=．

正确答案

证明：∵PA，PB是圆O的两条切线，

∴△PAC∽△PNA，△PBC∽△PNB，

∴PA：PN=AC：AN，PB：PN=BC：BN，

∵PA=PB，

∴AC：AN=BC：BN，

∴BC：AC=BN：AN

又∵△AMC∽△NMB，△BMC∽△NMA，

∴BM：NM=BC：AN，MB：MC=NB：AC，

∴=，

∴=．

解析

证明：∵PA，PB是圆O的两条切线，

∴△PAC∽△PNA，△PBC∽△PNB，

∴PA：PN=AC：AN，PB：PN=BC：BN，

∵PA=PB，

∴AC：AN=BC：BN，

∴BC：AC=BN：AN

又∵△AMC∽△NMB，△BMC∽△NMA，

∴BM：NM=BC：AN，MB：MC=NB：AC，

∴=，

∴=．

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题型：简答题

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简答题

如图，⊙O的半径OC垂直于直径DB，F为BO上一点，CF的延长线交⊙O于点E，过E点的切线交DB的延长线于点A

（1）求证：AF2=AB•AD；

（2）若⊙O的半径为2，OB=OF，求FE的长．

正确答案

（1）证明：连接OE，

∵AE切⊙O于点E，∴∠OEA=90°，∴∠OEC+∠CEA=90°，

∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，

∵OC⊥DB于点O，∴∠OCE+∠CFO=90°．

故∠CEA=∠CFO=∠AFE，∴AF=AE，

又∵AE切⊙O于点E，∴AE2=AB•AD，

∴AF2=AB•AD；

（2）解：∵OB=2，OB=OF，

∴OF=2，

∵OC=2，

∴CF==4，

∵CF•FE=DF•FB=（2+2）（2-2）=8，

∴FE==2．

解析

（1）证明：连接OE，

∵AE切⊙O于点E，∴∠OEA=90°，∴∠OEC+∠CEA=90°，

∵OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，

∵OC⊥DB于点O，∴∠OCE+∠CFO=90°．

故∠CEA=∠CFO=∠AFE，∴AF=AE，

又∵AE切⊙O于点E，∴AE2=AB•AD，

∴AF2=AB•AD；

（2）解：∵OB=2，OB=OF，

∴OF=2，

∵OC=2，

∴CF==4，

∵CF•FE=DF•FB=（2+2）（2-2）=8，

∴FE==2．

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．若AB=8，DC=4，则DE=______．

正确答案

2

解析

解：如图，∵AB是圆O的直径，点C在圆O上，

延长BC到D使BC=CD，过C作圆O的切线交AD于E．

∴∠BAC=∠DAC，AC⊥BD，∠ABC=∠ADC=∠ACE，

∴CE⊥AD，

∵AB=8，DC=4，

∴BC=DC=4，∠ABC=∠DCE=30°，

∴DE===2．

故答案为：2．

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题型：填空题

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填空题

如图，⊙O是等腰梯形ABCD的内切圆，M是切点，AM、BM分别与⊙O交于点P、T，则+的值等于______．

正确答案

10

解析

解：设AB，BC，CD，DA与圆的切点分别为K，L，M，N，则

∵AN是AP，AM的等比中项，

∴=，

同理=，

设KA=AN=ND=DM=a，KB=BL=LC=CM=b，∠D=α，∠C=π-α，则

AM2=a2+4a2-2a•2a•cosα，BM2=b2+4b2-2b•2b•cos（π-α），

∴==5-4cosα，==5+4cosα，

∴+=10．

故答案为：10．

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题型：填空题

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填空题

如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，过C作△ABC的外接圆的切线CD，BD⊥CD于D．BD与外接圆交于点E，已知DE=5，则△ABC的外接圆的半径为______．

正确答案

10

解析

解：设AB=2r，则

在△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=2r，

∴BC=AB•sin60°=r．

∵CD是此圆的切线，∴∠BCD=∠A=60°．

在Rt△BCD中，CD=BC•cos60°=r，BD=BC•sin60°=r．

由切割线定理可得CD2=DE•DB，

∴，解得r=10．

故答案为：10．

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题型：简答题

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简答题

选修4-1几何证明选讲

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．

求证：ED2=EC•EB．

正确答案

解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，

∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．

∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．

结合EA=ED，得ED2=EC•EB．

解析

解：∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，

∴∠ADE=∠DAE，得EA=ED．

∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．

结合EA=ED，得ED2=EC•EB．

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题型：简答题

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简答题

（2015秋•广州校级月考）如图，以△ABC的边BC为直径作圆O交AC于D，过A点作AE⊥BC于E，AE交圆O于点G，交BD于点F．

（Ⅰ）证明：△FBE∽△CAE；

（Ⅱ）证明：GE2=EF•EA．

正确答案

证明：（Ⅰ）∵AE⊥BC，

∴∠BEF=∠AEC=90° …2分

∵BC为直径，∴∠BDC=90°

∴∠FBE+∠ACE=90°，∠CAE+∠ACE=90°

∴∠FBE=∠CAE …4分

∴△FBE∽△CAE； …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴BE•EC=EF•EA …7分

连接BG和CG，∵BC是直径，∴∠BGC=90°，而AE⊥BC，

由射影定理得，GE2=BE•EC …9分

∴GE2=EF•EA． …10分．

解析

证明：（Ⅰ）∵AE⊥BC，

∴∠BEF=∠AEC=90° …2分

∵BC为直径，∴∠BDC=90°

∴∠FBE+∠ACE=90°，∠CAE+∠ACE=90°

∴∠FBE=∠CAE …4分

∴△FBE∽△CAE； …5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴BE•EC=EF•EA …7分

连接BG和CG，∵BC是直径，∴∠BGC=90°，而AE⊥BC，

由射影定理得，GE2=BE•EC …9分

∴GE2=EF•EA． …10分．

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题型：简答题

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简答题

如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2（r1＞r2），圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上），求证：AB：AC为定值．

正确答案

证明：根据⊙O1与⊙O2内切于点A，可以得出O1，O2，A，在一条直线上，连接O1，O2，A，分别过点O1，O2作O1F⊥AB，O2E⊥AB于点F，E，

∵O1F⊥AB，O2E⊥AB，

∴AE=CE，AC=BF，

∴，

∵O1F⊥AB，O2E⊥AB，

∴O1F∥O2E，

∴=，

∴=是定值．

解析

证明：根据⊙O1与⊙O2内切于点A，可以得出O1，O2，A，在一条直线上，连接O1，O2，A，分别过点O1，O2作O1F⊥AB，O2E⊥AB于点F，E，

∵O1F⊥AB，O2E⊥AB，

∴AE=CE，AC=BF，

∴，

∵O1F⊥AB，O2E⊥AB，

∴O1F∥O2E，

∴=，

∴=是定值．

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