弦切角的性质_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（选修4-1：几何证明选讲）

如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E．若AB=3AD，则的值为______．

正确答案

8

解析

解：设圆O的半径OA=OB=OC=3x，

∵AB=3AD，

∴AD=2x，BD=4x，OD=x

又∵点C在直径AB上的射影为D，

在△ABC中，由射影定理得：CD2=AD•BD=8x2，

在△ODC中，由射影定理得：OD2=OE•OC=x2，CD2=CE•OC=8x2，

故==8

故答案为：8

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题型：简答题

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简答题

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=6，BD=5．

（1）求证：四边形AEBC为平行四边形．

（2）求线段CF的长．

正确答案

（1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，

∴AE∥BC，

∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．

（2）解：∵AE与圆相切于点A，

∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），

解得EB=4，

根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，

设CF=x，由BD∥AC，得，

∴，解得x=，

∴CF=．

解析

（1）证明：∵AE与圆相切于点A，∴∠BAE=∠ACB，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=∠BAE，

∴AE∥BC，

∵BD∥AC，∴四边形ACBE为平行四边形．

（2）解：∵AE与圆相切于点A，

∴AE2=EB•（EB+BD），即62=EB•（EB+5），

解得EB=4，

根据（1）有AC=EB=4，BC=AE=6，

设CF=x，由BD∥AC，得，

∴，解得x=，

∴CF=．

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题型：填空题

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填空题

选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分．

（1）（几何证明选讲选做题） PA与圆O切于A点，PCB为圆O的割线，且不过圆心O，已知∠BPA=30°，PA=2，PC=1，则圆O的半径等于______．

（2）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，过点（）作圆ρ=4sinθ的切线，则切线的极坐标方程是______．

正确答案

7

ρcosθ=2

解析

解：（1）过O作OE⊥BC于E，连接OA，交AB于F

∵PA与圆O切于A点，

∴PA2=PC•PB，即（2）2=1•PB，得PB=12

∴AB=PB-PC=11，可得BE=BC=5.5

∵PA与圆O切于A点，

∴OA⊥PA，得Rt△PAF中，AF=PAtan30°=2，PF=2AF=4

∵Rt△OEF中，∠OFE=∠PFA=90°-30°=60°，EF=PB-BE-PF=2.5

∴OF==5，可得圆O的半径为R=OF+AF=7

（2）点A（）化成直角坐标为A（2，2），而圆C：ρ=4sinθ的直角坐标方程是x2+y2-4y=0

∵22+22-4×2=0

∴点A（2，2）适合圆C方程，得点A是圆C上的点

∵圆C的圆心为（0，2），得AC的斜率k==0，

∴过A与AC垂直的直线为x=2，即为过A点与圆C相切的直线

因此切线的极坐标方程是ρcosθ=2

故答案为：7 ρcosθ=2

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题型：填空题

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填空题

如图所示，过圆外一点P分别做圆的切线和割线交圆于点A和点B，且PB=3，C是圆上一点，BC=2，∠BAC=∠APB，则AB=______．

正确答案

解析

解：∵∠BAC=∠APB，

∠C=∠BAP，

∴△PAB∽△ACB，

∴=

∴AB2=PB•BC=3×2=6，

∴AB=，

故答案为：．

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题型：填空题

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填空题

如图，△ABC为圆的内接三角形，BD为圆的弦，且BD∥AC．过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，AD与BC交于点F．若AB=AC，AE=3，BD=4则线段AF的长为______．

正确答案

解析

解：∵AB=AC，AE=3，BD=4，

梯形ABCD中，AC∥BD，BD=4，

由切割线定理可知：AE2=EB•ED=EB（EB+BD），

即45=BE（BE+4），解得EB=5，

∵AC∥BD，∴AC∥BE，

∵过点A作圆的切线与DB的延长线交于点E，

∴∠BAE=∠C，

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，

∴∠ABC=∠BAE，∴AE∥BC，

∴四边形AEBC是平行四边形，

∴EB=AC，∴AC=AB=BE=5，

∴BC=AE=3，

∵△AFC∽△DFB，∴=，即=，

解得CF=．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

（2016•莆田一模）如图所示，AC为⊙O的直径，D为的中点，E为BC的中点．

（Ⅰ）求证：DE∥AB；

（Ⅱ）求证：AC•BC=2AD•CD．

正确答案

证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．

因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．

因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，

所以AB∥DE．…（5分）

（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，

又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．

所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，

因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）

解析

证明：（Ⅰ）连接BD，因为D为的中点，所以BD=DC．

因为E为BC的中点，所以DE⊥BC．

因为AC为圆的直径，所以∠ABC=90°，

所以AB∥DE．…（5分）

（Ⅱ）因为D为的中点，所以∠BAD=∠DAC，

又∠BAD=∠DCB，则∠DAC=∠DCB．

又因为AD⊥DC，DE⊥CE，所以△DAC∽△ECD．

所以=，AD•CD=AC•CE，2AD•CD=AC•2CE，

因此2AD•CD=AC•BC．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与

BC交于点D．求证：

（1）∠ADE=∠DAC

（2）ED2=EC•EB．

正确答案

证明：（1）∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，

∴∠ADE=∠DAE；

（2）由（1）得EA=ED．

∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．

结合EA=ED，得ED2=EC•EB．

解析

证明：（1）∵AE是圆的切线，∴∠ABC=∠CAE．

∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠CAD，

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD．

∵∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAD+∠CAE，

∴∠ADE=∠DAE；

（2）由（1）得EA=ED．

∵AE是圆的切线，∴由切割线定理，得EA2=EC•EB．

结合EA=ED，得ED2=EC•EB．

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题型：简答题

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简答题

如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，已知∠EAD=∠PCA，证明：

（1）AD=AB；

（2）DA2=DC•BP．

正确答案

证明：（1）连结BD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠EAD=∠ABD=∠PCA，

∴AD=AB．

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，

∴△ACD∽△APB，

∴，又AD=AB，

∴DA2=DC•BP．

解析

证明：（1）连结BD，

∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠EAD=∠ABD=∠PCA，

∴AD=AB．

（2）∵四边形ABCD内接于⊙O，过点A作⊙O的切线EP交CB的延长于P，∠EAD=∠PCA，

∴∠ADC=∠ABP，∠PAB=∠ACD，

∴△ACD∽△APB，

∴，又AD=AB，

∴DA2=DC•BP．

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题型：简答题

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简答题

如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，AP与CB的延长线交于点P，A为切点．若PA=10，PB=5，∠BAC的平分线AE与BC和⊙O分别交于点D、E，求AD•AE的值．

正确答案

解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，…（1分）

又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）

∴．…（3分）

∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC．…（5分）

又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）

由（ I）知，=，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB=90°．

∴AC2+AB2=BC2=225，

∴AC=6 ，AB=3 …（7分）

连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）

又∠CAE=∠EAB，

∴△ACE∽△ADB，

∴=…（9分）

∴AD•AE=AB•AC=3 ×6 =90．…（10分）

解析

解：连接CE，∵PA为⊙O的切线，

∴∠PAB=∠ACP，…（1分）

又∠P公用，∴△PAB∽△PCA．…（2分）

∴．…（3分）

∵PA为⊙O的切线，PBC是过点O的割线，

∴PA2=PB•PC．…（5分）

又∵PA=10，PB=5，∴PC=20，BC=15．…（6分）

由（ I）知，=，

∵BC是⊙O的直径，

∴∠CAB=90°．

∴AC2+AB2=BC2=225，

∴AC=6 ，AB=3 …（7分）

连接CE，则∠ABC=∠E，…（8分）

又∠CAE=∠EAB，

∴△ACE∽△ADB，

∴=…（9分）

∴AD•AE=AB•AC=3 ×6 =90．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

如图，AB是圆O的直径，CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，则CD=______；AD=______．

正确答案

3

解析

解：∵CD与圆O相切于点D，AB=8，BC=1，

∴由切割线定理可得CD2=CB•CA=1×9，

∴CD=3；

连接OD，则OD⊥DC，

∴cos∠COD=，

∴cos∠AOD=-，

∴AD==．

故答案为：3，．

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