热门试卷

建立如图所示的空间直角坐标系，

,

，，，。

（1）证明：

∵，，

∴,

∵平面，且平面，

∴//平面。

（2）证明：

，，，

，

又，

∴平面。

（3）设平面的法向量为,

因为，，

则取

又因为平面的法向量为

所以

所以二面角的大小为。

（1）若，则；； ；

； 。

若，则 ； ； ； 。 ………4分

（2）先证存在性，若数列满足及，则定义变换，变换将数列变为数列：。

易知和是互逆变换。 ………5分

对于数列连续实施变换（一直不能再作变换为止）得

 ，

则必有（若，则还可作变换），反过来对作有限次变换，即可还原为数列，因此存在数列满足条件。

下用数学归纳法证唯一性：当是显然的，假设唯一性对成立，考虑的情形。

假设存在两个数列及均可经过有限次变换，变为，这里，

若，则由变换的定义，不能变为；

若，则，经过一次变换，有

由于，可知（至少3个1）不可能变为。

所以，同理令，

，

则，所以，。

因为，

，

故由归纳假设，有，。

再由与互逆，有

，

，

所以，，从而唯一性得证，………9分

（3）显然，这是由于若对某个，，则由变换的定义可知， 通过变换，不能变为，由变换的定义可知数列每经过一次变换，的值或者不变，或者减少，由于数列经有限次变换，变为数列时，有，，

所以为整数，于是，，

所以为除以后所得的余数，即，………13分