导数的乘法与除法法则
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题型：单选题

单选题 · 5 分

等差数列中，则等于

B7.5

D8.5

正确答案

解析

由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，又a10＝6，则a10－a6＝4d＝1，所以a18＝a10＋8d＝6＋2×1＝8.

知识点

导数的乘法与除法法则

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知双曲线的离心率是，则n的值为

正确答案

解析

　由题意可得n(12－n)＞0，∴0＜n＜12，∴a2＝n，b2＝12－n，c2＝a2＋b2＝12，∴双曲线的离心率e＝a(c)＝n(12)＝，∴n＝4.

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

已知抛物线的焦点F,A,B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与轴的交点是（4,0），则|AB|是最大值为

D10

正确答案

解析

　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则kAB＝x2－x1(y2－y1)，AB的中点为(2(x1＋x2)，2(y1＋y2))，所以AB的垂直平分线方程为y－2(y1＋y2)＝－y2－y1(x2－x1)(x－2(x1＋x2))，令y＝0，则x＝2(2)1(2)1()＋2(x1＋x2)＝2（x2－x1）(4x2－4x1)＋2(x1＋x2)＝2＋2(x1＋x2)＝4，所以x1＋x2＝4，所以|AB|≤＋＝x1＋2(p)＋x2＋2(p)＝x1＋x2＋p＝4＋2＝6(当A，B，F三点共线时取等号)．

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知双曲线的焦距为4，以原点为圆心，实半轴长为半径的圆和直线相切。

（1）求双曲线的方程；

（2）已知点为双曲线的左焦点，试问在轴上是否存在一定点，过点任意作一条直线交双曲线于两点，使为定值？若存在，求出此定值和所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由。

正确答案

见解析。

解析

（1）

所以双曲线的方程为；

（2）解法一：当直线为时，

当直线不是时，可设代入

整理得

由得

设方程的两个根为满足

当且仅当时，为定值，

解得，不合题意，舍去，

而且满足；

综上得：过定点任意作一条直线交双曲线于两点，

使为定值.

解法二：前同解法一，得

由得，

解得，下同解法一.

解法三：当直线不垂直轴时，设代入

整理得

由得

设方程的两个根为满足

当且仅当时，为定值，

解得，不合题意，舍去，而且满足；

当直线轴时，代入得

综上得：（结论同解法一）

知识点

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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数。

（1）若函数在区间上存在极值点，求实数的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求证：，（，为自然对数的底数）

正确答案

见解析。

解析

（1）函数定义域为，，

由，当时，，当时，，

则在上单增，在上单减，函数在处取得唯一的极值。

由题意得，故所求实数的取值范围为

（2）当时，不等式。

令，由题意，在恒成立。

令，则，当且仅当时取等号。

所以在上单调递增，

因此，则在上单调递增，

所以，即实数的取值范围为

（3）由（2）知，当时，不等式恒成立，

即，

令，则有。

分别令，则有，

将这个不等式左右两边分别相加，则得

故，从而。

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