椭圆的几何性质
共137题

· 椭圆的几何性质

椭圆的几何性质
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题型：单选题

单选题 · 5 分

11．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为

B2－

C－2

D－

正确答案

解析

设F1A=x, F2A=y,由题可知，x+y=2a,x2+y2=4c2,2x+√2x=4a，联立方程组，代换得a2(9-6√2)=c2,即e=－。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

考查方向

本题主要考查直线与椭圆的位置关系

解题思路

1、用a,c表示出F1A,F2A；

2、将所求式子联立，即可得到结果。A选项不正确，B选项不正确，C选项不正确，所以选D选项。

易错点

本题易在表示a, c关系时发生错误。

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系

题型：单选题

单选题 · 5 分

9. 如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是椭圆，那么这个椭圆的离心率是（）

正确答案

解析

如图，设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),因为P点在圆上，所以将P点坐标代入圆的方程得到，化成

椭圆的标准方程得到，所以

考查方向

本题主要考查用相关点法求曲线的轨迹方程，以及椭圆的定义，难度中档，属高考热点之一。圆锥曲线在高考中常涉及离心率的取值范围或某参数的取值范围等，计算量一般较大。

解题思路

如图，

设M点坐标（x,y），则P点坐标为(x,2y),然后将P点坐标代入圆的方程即得M点的轨迹方程，然后再求离心率

易错点

不会用相关点法求椭圆方程，或求出椭圆方程后忘记开方

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质相关点法求轨迹方程

题型：简答题

简答题 · 12 分

20．如图，F是椭圆+=1（a＞b＞0）的右焦点，O是坐标原点，|OF|=，过F作OF的垂线交椭圆于P0，Q0两点，△OP0Q0的面积为。

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若直线l与上下半椭圆分别交于点P、Q，与x轴交于点M，且|PM|=2|MQ|，求△OPQ的面积取得最大值时直线l的方程．

正确答案

（1）+=1；（2）x=±y﹣或x=±y+

解析

试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：

（1）由题意可得c=，

将x=c代入椭圆方程可得y=±b=±，

即有△OP0Q0的面积为|PQ|•c=，

即=，且a2﹣b2=5，解得a=3，b=2，即有椭圆方程为+=1；

（2）设M（t，0），且＜1，即﹣3＜t＜3．

直线PQ：x=my+t，代入椭圆方程，

可得（4m2+9）y2+8mty+4t2﹣36=0，

设P（x1，y1），Q（x2，y2），y1+y2=﹣，y1y2=＜0，

由|PM|=2|MQ|，可得=2，即有﹣y1=2y2，代入韦达定理可得，

t2=，即有m2=，即有1＜t2＜9．

则△OPQ的面积为S=|t|•|y1﹣y2|=|t|•

=6|t|•=，

当t2=5＜9，此时m2=，△OPQ的面积取得最大值，且为×4=3．

故所求直线方程为x=±y﹣或x=±y+．

考查方向

本题考查了求椭圆的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识点。

解题思路

（1）利用相关知识求椭圆方程；

（2）联立方程组，由|PM|=2|MQ|找关系，整理即可求解．

易错点

对题中条件的处理容易出错。

知识点

椭圆的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

10. 设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）

正确答案

解析

在直角三角形中，，由椭圆的定义可得，故选A。

考查方向

本题主要考查了椭圆的定义及其离心率。

解题思路

根据焦距为2c，在直角三角形中将其他两边用c表示出来，再利用椭圆的定义得到一个等式，解出比值就可以得到所求的离心率。

易错点

1、根据已知条件不能转化为a,b,c有关的一个等式。

知识点

椭圆的几何性质

题型：单选题

单选题 · 5 分

7．若椭圆和双曲线有共同焦点，是两曲线的一个交点，则的值为（）

C21

D84

正确答案

解析

由椭圆和双曲线的定义，得；两式平方相减，得，所以；所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了椭圆和双曲线的定义。

易错点

本题易在利用双曲线定义得到时出现错误，易忽视“差的绝对值”中的绝对值．

知识点

椭圆的几何性质双曲线的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题

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