椭圆的几何性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在平面直角坐标系中，已知是椭上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点．

24.若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；

25.若直线的斜率存在，并记为，求的值；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即 ①又点在椭圆上，所以 ②

联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

先根据题中条件求出圆心的坐标，后即可得到圆的方程；

易错点

不知题中给出的直线是切线，且互相垂直如何使用导致不能得到关于圆心的方程；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，

即，所以．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

根据直线和圆相切得，，化简得到，后消元即可得到答案。

易错点

不会化简，得到。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知曲线C的方程是（m＞0，n＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点．

23.求曲线C的方程；

24.设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，向量p＝（x1，y1），q＝（x2，y2），且p·q＝0，若直线MN过（0，），求直线MN的斜率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）由题可得：，解得

所以曲线方程为

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程为得：

∴，

∴=

∴

即

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

1

题型：填空题

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填空题 · 4 分

15.椭圆的右焦点F(c，0)关于直线的对称点Q在椭圆上，则椭圆的离心率是．

正确答案

解析

试题分析：利用点F关于直线的对称点Q在椭圆上，由a，b，c的关系列方程求出椭圆的离心率。

设Q(m，n)，由题意可得，解得：，代入椭圆方程可得：，整理可得，

可得，．即，

可得，解得．

故答案为：.

考查方向

本题考查了椭圆的方程简单性质的应用、对称知识和计算能力，属于中等题．

解题思路

设出Q的坐标，利用对称知识，集合椭圆方程推出椭圆几何量之间的关系，然后求解离心率即可．

易错点

点关于直线的对称点的求法，.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，已知椭圆，离心率，是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点．

（Ⅰ）若过点的直线与原点的距离为，求椭圆方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若直线的斜率存在，并记为．试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

正确答案

（1）；（2）为定值。

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的问题，

（1）由已知条件构造方程组求解（2）用设而不求的方法来解决．

（Ⅰ）因为离心率，所以，而所以，即 ① 设经过点的直线方程为

即

因为直线与原点的距离为

所以，整理得：② 由①②得所以椭圆的方程为

（Ⅱ）解：因为直线, 与圆M相切,由直线和圆相切的条件: ,可得, 平方整理,可得,
, 所以是方程的两个不相等的实数根, ,因为点在椭圆C上,所以,即,所以为定值;

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的问题．

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的问题，解题步骤如下：

由已知条件构造方程组求解。

用设而不求的方法来解决。

易错点

不会利用设而不求的思想来解答。

知识点

椭圆的几何性质椭圆的相关应用圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点(0，1)在短轴CD上，且＝－1

25．求椭圆E的方程；

26.设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)

又点P的坐标为(0，1)，且＝－1

于是，解得a＝2，b＝

所以椭圆E方程为.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

1.第（1）问直接根据题中给出的条件求解即可；

易错点

1.第（1）问的运算出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

λ＝－1

解析

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1

A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)

联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0

其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0

所以

从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]

＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝

＝－

所以，当λ＝1时，－＝－3

此时，＝－3为定值

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD

此时＝－2－1＝－3

故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

.第（2）问先联立消元导出韦达定理后代人要求的式子得到定值即可。

易错点

第（2）问的运算出错；第（2）问的＝－不会计算如何为定值。

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正确答案

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易错点

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