椭圆的几何性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

26.若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.

27.若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：由椭圆的定义知可求出的值，再由及勾股定理可求得的值，最后由求得的值，从而根据椭圆的标准方程得到结果.

试题解析：由椭圆的定义，

设椭圆的半焦距为，由已知，因此

即

从而

故所求椭圆的标准方程为.

考查方向

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

本题椭圆的定义、标准方程、简单几何性质的应用，应用椭圆的定义及基本量间的关第易于求解，本题属于较难题，

易错点

注意运算的准确性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：由,得

由椭圆的定义，,进而

于是.解得，

故．再注意到从而,两边除以，得,若记，则上式变成.再由，并注意函数的单调性，即可求得离心率的取值范围。

试题解析：（2）如（1））图，由,得

由椭圆的定义，,进而

于是.

解得，故.

由勾股定理得,

从而,

两边除以，得,

若记，则上式变成.

由，并注意到关于的单调性，得，即，

进而，即.

考查方向

本题考查了椭圆的定义标准方程及不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

应用条件、椭圆的定义及勾股定理建军立离心率与的关系式，从而将离心率表示成为的函数，然后得用函数相关知识，求其值域，即是所求的范围，本题属于较难题，

易错点

函数思想方法的应用.

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，已知椭圆的四个顶点分别为,左右焦点分别为，若圆C：()上有且只有一个点满足，

（1）求圆C的半径；

（2）若点为圆C上的一个动点，直线交椭圆于点,

交直线于点,求的最大值；

正确答案

（1）；（2）

解析

试题分析：本题属直线与圆锥曲线的位置关系的问题，题目的难度是逐渐由易到难，（1）直接按照步骤来求；（2）利用设而不求的方法再结合基本不等式来求解。

试题解析：：（1）依题意得，

设点，由得：，化简得，

∴点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，又∵点在圆上并且有且只有一个点，即两圆相切，

当两圆外切时，圆心距，成立

当两圆内切时，圆心距，不成立

∴ （2）设直线为，

由得, 联立，消去并整理得：，

解得点的横坐标为，

把直线：与直线：联立解得点横坐标 8分

所以 11分

(∵求最大值，显然为正才可能取最大，)

当且仅当时，取等号，

∴的最大值为；

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系。

解题思路

本题考直线与圆锥曲线的位置关系，解题步骤如下：（1）直接按照步骤来求；（2）利用设而不求的方法再结合基本不等式来求解。

易错点

计算量大容易算错。

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知为椭圆上的一个动点，弦分别过左右焦点,且当线段的中点在轴上时，.

24.求该椭圆的离心率；

25.设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值，并给出证明；若不是定值，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.e=

解析

当线段A的中点在y轴上时，AC垂直于轴，为直角三角形.

因为cos∠,所以||=3||,易知||=,由椭圆的定义||+||=2a

，所以e=

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

先证出为直角三角形，求出，再由定义得到a,b方程, 从中解出离心率

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

+是定值6

解析

由24得椭圆方程为,焦点坐标为，当AB、AC的斜率都存在时,设,A()、B()、C()

则直线AC的方程为y=, 代入椭圆方程得,=0

又，同理，，+=6

(2) 若AB⊥x轴，则=1，，这时也有.+=6.

综上所述,+是定值6

考查方向

本题主要考查的是椭圆的离心率，直线与椭圆的位置关系、解析几何定值问题

解题思路

由24得到含有b的椭圆方程，根据题意对直线AB、AC的斜率进行分为讨论，设出坐标，联立方程组，利用根与系数关系，结合向量关系式，将向量关系转化为坐标关系，用A的坐标及b,表求，，验证是否为定值。

易错点

解析几何易出现对于直线方程的分类讨论上的错，其次就是直线与曲线联系以后，寻求向量、坐标、常数、参数之间的联系时，易出现转化和计算、代数整理上的错误。

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

20. 如图：A,B,C是椭圆的顶点，点为椭圆的右焦点，离心率为，且椭圆过点.

（I）求椭圆的方程；

（II）若P是椭圆上除顶点外的任意一点，直线CP交x轴于点E，直线BC与AP相交于点D，连结DE.设直线AP的斜率为k，直线DE的斜率为，证明：.

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

1）根据离心率得到a,b的关系，根据点在椭圆上联立求出椭圆方程

2）设点p，根据要求求出直线AP，与直线BC求出点D

3）根据直线CP得到点E

4）使用两点间斜率公式得到DE斜率，化简得到结论

易错点

本题主要有以下几个错误：

1）椭圆方程求错

2）找不到有效突破点，导致运算量加大，无法得出理想结果

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为，它的四个顶点构成的四边形的面积为．

27.求椭圆的方程；

28.设椭圆的右焦点为，过作两条互相垂直的直线，直线与椭圆交于两点，直线与直线交于点．

（i）求证：线段的中点在直线上；

（ii）求的取值范围．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）．

解析

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，则由题意可知．

∵椭圆四个顶点构成的四边形的面积为，∴．

由得．

∴椭圆的方程为．

考查方向

本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查考生运算求解能力和构造函数等知识。

解题思路

直接根据椭圆的基本量直接带入求解即可；

易错点

在运算时算数出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）（i）略；（ii）．

解析

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知，椭圆的方程为，它的右焦点为．

（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，直线的方程为，此时线段的中点为，点的坐标为，直线的方程为，线段的中点在直线上．

（2）当直线的斜率存在时，若直线的斜率为，则直线的方程为，与不相交，所以直线的斜率不为．设直线的方程为，则直线的方程为．

设两点的坐标分别为，线段的中点为．

由得．

判别式，

．

则，．

由得点的坐标为，∴直线的斜率为，

∴直线的方程为．∴，

∴线段的中点在直线上．

（ii）（1）当直线的斜率不存在时，由得，．

∴，此时．

（2）由（i）知直线的斜率不为，所以当直线的斜率存在且不为时，

，．

．

令，

则∵，∴，，∴．

此时．∴的取值范围为．

考查方向

本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等知识，意在考查考生运算求解能力和构造函数等知识。

易错点

不会构造函数，导致无法入手。

【解题思路

第（1）小问先求出线段的中点为，然后求直线ON的方程带入即可。

第（2）问先求，构造函数后求函数的值域即可。

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