热门试卷

（1）由已知，可设椭圆方程为，…………………… 1分

则 ，。         …………………………………………2分

所以　， …………………………………3分

所以　椭圆方程为。 …………………………………………4分

（2）若直线轴，则平行四边形AOBC中，点C与点O关于直线对称，此时点C坐标为，因为 ，所以点C在椭圆外，所以直线与轴不垂直。                    …………………………………………6分

于是，设直线的方程为，点，， …7分

则 整理得， … 8分

，           ………………………………………… 9分

所以　。   ………………………………………  10分

因为 四边形为平行四边形，

所以 ，        ………………………………………  11分

所以 点的坐标为， ……………………………12分

所以 ，    ……………………………13分

解得，

所以，　　　　　　　　　　　　………………………………14分

（1）设P（x，y），由题意知  ，即

化简得曲线C方程为：

（2）思路一

满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），

由（Ⅰ）知，所以，设直线QB方程为（x﹣2），

当x=4时得N点坐标为，易求M点坐标为M（4，6k）

所以=，

当且仅当时，线段MN的长度有最小值。

思路二：满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），

联立方程：

消元得（4k2+1）x2+16k2x+16k2﹣4=0，

设Q（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），

由韦达定理得：，

所以，代入直线方程得，

所以，又B（2，0）

所以直线BQ的斜率为

以下同思路一

思路三：设Q（x0，y0），则直线AQ的方程为

直线BQ的方程为

当x=4，得，即

当x=4，得，即

则

又

所以

利用导数，或变形为二次函数求其最小值。

（1），

椭圆方程为，                            ………………………………2分

准圆方程为，                              ………………………………3分

（2）（ⅰ）因为准圆与轴正半轴的交点为，

设过点且与椭圆相切的直线为，

所以由得。

因为直线与椭圆相切，

所以，解得，        ………………………………6分

所以方程为，                  ………………………………7分

，，                              ………………………………8分

（ⅱ）①当直线中有一条斜率不存在时，不妨设直线斜率不存在，

则：，

当：时，与准圆交于点，

此时为（或），显然直线垂直；

同理可证当：时，直线垂直，             ………………………………10分

②当斜率存在时，设点，其中。

设经过点与椭圆相切的直线为，

所以由

得 。

由化简整理得 ，

因为，所以有。

设的斜率分别为，因为与椭圆相切，

所以满足上述方程，

所以，即垂直，                          ………………………………12分

综合①②知：因为经过点，又分别交其准圆于点，且 垂直。

所以线段为准圆的直径，，

所以线段的长为定值，                             ………………………………14分

（1）解：在椭圆中，由已知得（1分）

过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线方程为，即bx﹣ay﹣ab=0，

该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得：（3分）

解得：a2=3，b2=1，所以椭圆方程为（4分）

（2）解：设M（x，y），则x2=3（1﹣y2），|AM|2=x2+（y+1）2=﹣2y2+2y+4，其中﹣1≤y≤1（6分）

当时，|AM|2取得最大值，所以|AM|长度的最大值为（7分）

（3）证明：将y=kx+t代入椭圆方程，得（1+3k2）x2+6ktx+3t2﹣3=0，

由直线与椭圆有两个交点，所以△=（6kt）2﹣12（1+3k2）（t2﹣1）＞0，解得（9分）

设C（x1，y1）、D（x2，y2），则，，

因为以CD为直径的圆过E点，所以，即（x1+1）（x2+1）+y1y2=0，（11分）

而y1y2=（kx1+t）（kx2+t）=，

所以，解得（12分）

如果对任意的t＞0都成立，则存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点。，即。

所以，对任意的t＞0，都存在k，使得以线段CD为直径的圆过E点，（14分）

（1）由已知得,由题意得 ，又，………………………2分

消去可得，，解得或（舍去），则，

所以椭圆的方程为。……………………………………………………5分

（2）结论：直线与圆相切.

证明:由题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为

(ⅰ)当直线轴时,直线的方程为且

则

解得，故直线的方程为 ，

因此,点到直线的距离为，又圆的圆心为,

半径  所以直线与圆相切  …8分

(ⅱ)当直线不垂直于轴时,

设直线的方程为，联立直线和椭圆方程消去得；

得 ，

   ，故，

即①  ………………………………………11分

又圆的圆心为,半径，

圆心到直线的距离为，

②

将①式带入②式得：  ， 所以  因此,直线与圆相切   ………………14分