椭圆的几何性质
共137题

· 椭圆的几何性质

椭圆的几何性质
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题型：简答题

简答题 · 12 分

已知椭圆的离心率为，设过椭圆的焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于A，B两点，且

（1）求椭圆C的方程；

（2）对于椭圆C上任一点，若的最大值.

正确答案

见解析。

解析

知识点

椭圆的几何性质

题型：简答题

简答题 · 5 分

已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；

（2）为椭圆的左、右顶点，直线与轴交于点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：恒为定值。

正确答案

见解析

解析

（1）由题意可知，，，解得.

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）可知,，.设，依题意，

于是直线的方程为，令，则.

即.

又直线的方程为，令，则，

即.

所以，

又在上，所以,即，代入上式，

得,所以为定值.

知识点

椭圆的几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆C：，其短轴的端点分别为A,B(如图),直线AM,BM分别与椭圆C交于E,F两点，其中点M (m,) 满足，且.

（1）求椭圆C的离心率e；

（2）用m表示点E,F的坐标；

（3）证明直线EF与y轴交点的位置与m无关。

正确答案

见解析

解析

（1）依题意知,,; ………… 3分

（2）,M (m,)，且， ………………………4分

直线AM的斜率为k1=,直线BM斜率为k2=,

直线AM的方程为y= ,直线BM的方程为y= , ……………6分

由得， …………8分

由得，

；………………………10分

（3）据已知，，

直线EF的斜率 …………………12分

直线EF的方程为 , ………………13分

令x=0,得 EF与y轴交点的位置与m无关. ………………14分

知识点

椭圆的几何性质

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆和点，垂直于轴的直线与椭圆交于两点，连结交椭圆于另一点.

（1）求椭圆的焦点坐标和离心率；

（2）证明直线与轴相交于定点.

正确答案

见解析

解析

（1）由题意知：所以

所以，焦点坐标为；离心率…………………4分

（2）由题意知：直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为……………………5分

，，则，

由得

则 (1) ……………………8分

直线AE的方程为，令，得 (2) ……10分

又，代入(2)式，得 (3)

把(1)代入(3)式，整理得，所以直线AE与轴相交于定点. …………………14分

知识点

椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系直线与圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的定点、定值问题

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知椭圆的离心率为，且经过点。

（1）求椭圆的方程；

（2）过点的直线交椭圆于，两点，求△（为原点）面积的最

大值。

正确答案

（1）

（2）△面积取得最大值

解析

（1）解：由，得， ①

由椭圆经过点，得。 ②

联立① ②，解得，，

所以椭圆的方程是，

（2）解：易知直线的斜率存在，设其方程为。

将直线的方程与椭圆的方程联立，消去得。

令，得。

设，，则，，

所以，

因为，

设，

则。

当且仅当，即时等号成立，此时△面积取得最大值。

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