- 平面与圆柱面的截线
- 共757题
（1）求证：AF⊥DB；
（2）如果圆柱与三棱锥D-ABE的体积的比等于3π，求直线DE与平面ABCD所成的角．
正确答案
∵EB⊂平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF⊂平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．
∵DB⊂平面DEB，
∴AF⊥DB．
（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．
根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．
又DH⊂平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．
设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是
V圆柱=2πR3，
由V圆柱：VD-ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，
AH=R，
DH=
∴∠EDH=arctan
解析
∵EB⊂平面ABE，
∴DA⊥EB．
∵AB是圆柱底面的直径，点E在圆周上，
∴AE⊥EB，又AE∩AD=A，
故得EB⊥平面DAE．
∵AF⊂平面DAE，
∴EB⊥AF．
又AF⊥DE，且EB∩DE=E，
故得AF⊥平面DEB．
∵DB⊂平面DEB，
∴AF⊥DB．
（2）解：过点E作EH⊥AB，H是垂足，连接DH．
根据圆柱性质，平面ABCD⊥平面ABE，AB是交线．且EH⊂平面ABE，所以EH⊥平面ABCD．
又DH⊂平面ABCD，所以DH是ED在平面ABCD上的射影，从而∠EDH是DE与平面ABCD所成的角．
设圆柱的底面半径为R，则DA=AB=2R，于是
V圆柱=2πR3，
由V圆柱：VD-ABE=3π，得EH=R，可知H是圆柱底面的圆心，
AH=R，
DH=
∴∠EDH=arctan
工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．对工人师傅所画的曲线，有如下说法：
（1）是一段抛物线；
（2）是一段双曲线；
（3）是一段正弦曲线；
（4）是一段余弦曲线；
（5）是一段圆弧．
则正确的说法序号是______．
正确答案
③④
解析
解：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有③④正确．
故答案为：③④．
用与底面成45°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为 ______．
正确答案
解析
解：设圆柱方程为x 2+y 2=R 2，
∵与底面成45°角的平面截圆柱，
∴椭圆的长轴长是
短轴长是R，
∴c=R，
∴e=
故答案为：
在底面半径为6的圆柱内，有两个半径也为6的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______．
正确答案
13
解析
直线AB与O1O2交于点E，设它们确定平面α，
作出平面α与两个球及圆柱的截面，如图所示
过A作O1O2的垂线，交圆柱的母线于点C，设AB切球O1的大圆于点D，连接O1D
∵Rt△O1DE中，O1E=
∴cos∠DO1E=
∵锐角∠DO1E与∠BAC的两边对应互相垂直
∴∠BAC=∠DO1E，
得Rt△ABC中，cos∠BAC=
∵AC长等于球O1的直径，得AC=12
∴椭圆的长轴AB=13
故答案为：13
正确答案
解：由题意，椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形，且长轴与直径的夹角为
∴b=r，a=2r，c=
∴离心率e=
解析
解：由题意，椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线三者组成一个直角三角形，且长轴与直径的夹角为
∴b=r，a=2r，c=
∴离心率e=
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