椭圆的几何性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

以椭圆：的中心为圆心，为半径的圆称为该椭圆的“准圆”.设椭圆的左顶点为，左焦点为，上顶点为，且满足，.

24.求椭圆及其“准圆”的方程；

25.若椭圆的“准圆”的一条弦（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，试证明：当时，试问弦的长是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设椭圆的左焦点，由得，又，即且，所以，

则椭圆的方程为；椭圆的“准圆”方程为

考查方向

圆锥曲线;平面向量;椭圆的性质与特征；直线与圆锥曲线

解题思路

利用所给“准圆”的性质和椭圆的性质以及抛物线的性质求椭圆的方程和准圆方程,利用平面向量的数量积结合圆锥曲线相关性质计算求解。

易错点

计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

设直线的方程为，且与椭圆的交点，

联列方程组代入消元得：

由，可得由得即，所以

此时成立，

则原点到弦的距离,

得原点到弦的距离为，则，故弦的长为定值

考查方向

圆锥曲线;平面向量;椭圆的性质与特征；直线与圆锥曲线

解题思路

利用所给“准圆”的性质和椭圆的性质以及抛物线的性质求椭圆的方程和准圆方程,利用平面向量的数量积结合圆锥曲线相关性质计算求解。

易错点

计算能力弱

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知A、B分别是椭圆的左右顶点，离心率为，右焦点与抛物线的焦点F重合.

25.求椭圆C的方程；

26.已知点P是椭圆C上异于A、B的动点，直线l过点A且垂直于x轴，若过F作直线FQ垂直于AP，并交直线l于点Q，证明：Q、P、B三点共线.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

抛物线的焦点F(1,0)，∵，∴a=2，∴，∴椭圆方程为.

考查方向

圆锥曲线;平面向量;椭圆的性质与特征;抛物线的性质与特征；直线与圆锥曲线

解题思路

利用离心率和椭圆的性质以及抛物线的性质求椭圆的方程,利用直线与圆锥曲线方程证明三点共线。

易错点

计算能力弱

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

由25题知直线l的方程为x=-2，∵点P异于A，B，∴直线AP的斜率存在且不为0，设AP的方程为，联立

，，∴，.

又∵QF⊥AP，，∴直线QF的方程为，联立，解得交点，，

即，有公共点Q，所以Q，P，B三点共线

考查方向

圆锥曲线;平面向量;椭圆的性质与特征;抛物线的性质与特征；直线与圆锥曲线

解题思路

利用离心率和椭圆的性质以及抛物线的性质求椭圆的方程,利用直线与圆锥曲线方程证明三点共线。

易错点

计算能力弱

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．

25.若，且，求实数的值；

26.若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：设直线l与椭圆的两个交点坐标为，

，

．

考查方向

椭圆的性质与特征；直线与圆锥曲线的综合问题

解题思路

联立方程组，消去参数，利用基本不等式判断

易错点

计算错误；找不到最大值

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

，，

由，代入上式得：

，

当且仅当时取等号，此时，

又，因此．

所以，面积的最大值为，此时椭圆的方程为．

考查方向

椭圆的性质与特征；直线与圆锥曲线的综合问题

解题思路

联立方程组，消去参数，利用基本不等式判断

易错点

计算错误；找不到最大值

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图所示的封闭曲线C由曲线和曲线组成，已知曲线过点，离心率为，点A,B分别为曲线C与x轴、y轴的一个交点.

24.求曲线的方程；

25.若点Q是曲线上的任意点，求面积的最大值及点Q的坐标；

26.若点F为曲线的右焦点，直线与曲线相切于点M，且与直线交于点N，求证：以MN为直径的圆过点F.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

根据离心率和点求出曲线，求出交点确定

易错点

本题易错于1、曲线方程求错，特别是曲线 2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

求出直线AB，判定面积最大是恰好是与AB平行且与曲线相切时，利用平行线及切线的判定求出面积的最大值及其点的坐标

易错点

本题易错于

1、曲线方程求错，特别是曲线

2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

考查方向

本题考察了椭圆的定义及标准方程，考察了抛物线方程，考察了圆锥曲线中的最值问题，考察了与已知直线平行的直线方程，考察了圆的基本性质，考察了圆锥曲线的定点、定值问题，

解题思路

设出直线方程，利用与曲线联立，根据相切确定k，m的关系以及确定切点M的坐标，与直线联立求出点N的坐标

借助圆的几何性质

易错点

本题易错于1、曲线方程求错，特别是曲线 2、第二问Q点位置的确定，使用直接法会极大的增加运算过程，且很容易出错，第三问，主要是在圆的几何性质上使用出错

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，曲线由上半椭圆和部分抛物线连接而成，的公共点为，其中的离心率为.

23.求的值；

24.过点的直线与分别交于（均异于点），若，求直线的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）;

解析

(Ⅰ)因为抛物线与轴交于点，所以

由因为，所以椭圆方程为

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

先根据抛物线与x轴的交点求出b的值，后利用离心率求出a的值；

易错点

不知道抛物线与x轴的交点即为b的值；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

(Ⅱ)因为，若过点的直线斜率不存在时，不满足题意，所以直线斜率存在，

设直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，所以，所以联立所以，所以

由

化简得，所以，所以直线的方程为即

考查方向

本题主要考查圆锥曲线的性质和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，意在考查考生的运算求解能力和综合解决问题的能力。

解题思路

设出直线的方程后分别与椭圆和抛物线的方程联立消元导出求出P,Q 的坐标后带入解方程即可。

易错点

不会转化，导致问题找不到突破口。

热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

正确答案

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

解题思路

易错点

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考查方向

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易错点

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易错点

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易错点

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考查方向

解题思路

易错点