椭圆的几何性质_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴相交于两点（点在点的下方），且．

23.求圆的方程；

24.过点任作一条直线与椭圆相交于两点，

连接，求证：．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

详见解析

解析

解：（Ⅰ）设圆的半径为（），依题意，圆心坐标为.

∵　∴　，解得．2分

∴　圆的方程为．4分

考查方向

求直线和圆的方程

解题思路

先求圆C的半径，然后带入方程中，求解参数

易错点

不能正确的设出坐标，找不到等量关系

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）把代入方程，解得或，

即点．6分

（1）当轴时，可知=0．

（2）当与轴不垂直时，可设直线的方程为．

联立方程，消去得，．8分

设直线交椭圆于两点，则

，．

∴

若，即10分

∵，

∴ ．12分

考查方向

直线和圆的方程，直线和圆锥曲线的综合题

解题思路

设出直线AB的方程，联立方程，消去y，然后直线AN和直线BN的斜率的和等于0，证明角相等。

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

若椭圆的左右焦点分别为，线段被抛物线的焦点内分成了的两段.

24.求椭圆的离心率；

25.过点的直线交椭圆于不同两点，且，当的面积最大时，求直线和椭圆的方程.

（2）【答案】设直线，，

∵，∴，即①

由（1）知，,∴椭圆方程为

由，消去得，

∴②，③

由①②知，，

∵，

∴，

当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或.

又当时，，

∴由，得，∴椭圆方程为.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）由题意知，，∴，.

解析

（1）由题意知，，∴，.

考查方向

本题考查椭圆与抛物线的应用问题，主要涉及到两者焦距、焦点问题

解题思路

由题意，可知,再根据椭圆中a,b,c的关系式，求出椭圆的离心率

易错点

线段的定比分点计算容易出错，离心率公式容易记错

教师点评

本题是椭圆焦距与抛物线焦点坐标的综合题，属于简单题，只要掌握线段定比分点的性质即可,在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

直线方程为或.

椭圆方程为.

解析

设直线，，

∵，∴，即①

由（1）知，,∴椭圆方程为

由，消去得，

∴②，③

由①②知，，

∵，

∴，

当且仅当，即时取等号，此时直线方程为或.

又当时，，

∴由，得，∴椭圆方程为.

考查方向

本题考查椭圆中三角形面积最大问题，主要涉及到直线与椭圆的焦点问题、向量在椭圆中的应用问题以及函数值域问题

解题思路

先设出直线方程，联立椭圆方程和直线方程，利用韦达定理，求出两根和积，再利用向量坐标运算，求出关系式，列出面积公式，利用均值不等式求出直线方程和椭圆方程

易错点

计算容易出错，不容易想到均值不等式

教师点评

本题是向量、曲线相交与均值不等式的综合应用题，是一道难度较大的题型，需要掌握直线的不同设法、设而不求法、向量运算与面积问题、均值不等式在最值问题上会经常使用，值得注意

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

在平面直角坐标系中，过椭圆的一个焦点作一直线交椭圆于两点，线段长的最大值与最小值分别是.

23.求椭圆的方程；

24.与圆相切的直线与椭圆交于两点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅰ）由题意知，解得

所求椭圆的方程为． …………………………………………（5分）

解析

由题意，得,得,从而椭圆方程为

考查方向

本题考查椭圆焦点弦知识，由焦点弦的公式可以知道最大值与最小值

解题思路

由焦点弦公式，可得,从而求出a,b的值

易错点

焦点弦的最大值与最小值容易弄错

教师点评

本题只需要记住焦点弦的公式就可以解决，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得． …………………………（12分）

解析

（Ⅱ）设，，

由直线与圆相切，

所以，①　　　 …………………………（6分）

联立，

所以，

， ………………………………………………（9分）

又，，

将点C代入椭圆方程并化简得，②　 …………………………（10分）

①代入②得，解得

考查方向

本题考查圆与直线相切问题，向量在圆锥曲线上的应用，变量取值范围问题

解题思路

先由圆与直线相切，求出k，然后联立直线与椭圆方程，消去一个元，算出两根和积，再结合向量的性质，联立关系式，求出变量取值范围

易错点

容易算错斜率，以及变量的取值范围

教师点评

本题是圆锥曲线中的常规题，难度是中等，需要掌握切线问题、设而不求法、向量等知识，才能求出变量的取值范围，在近几年中考到的频率较高，是解析几何中重要的一块

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．

（1）求椭圆的离心率；

（2）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．

正确答案

（1）过点(c,0),(0,b)的直线方程为，

则原点O到直线的距离，

由，得，解得离心率.

（2）解法一：由（1）知，椭圆E的方程为. (1)

依题意，圆心M(-2,1)是线段AB的中点，且.

易知，AB不与x轴垂直，设其直线方程为，代入(1)得

设则

由，得解得.

从而.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

解法二：由（I）知，椭圆E的方程为. (2)

依题意，点A，B关于圆心M(-2,1)对称，且.

设则，，

两式相减并结合得.

易知，AB不与x轴垂直，则，所以AB的斜率

因此AB直线方程为，代入(2)得

所以，.

于是.

由，得，解得.

故椭圆E的方程为.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 12 分

20.（本题满分12分）

已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为.

（Ⅰ）证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由.

正确答案

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）能，或.

试题分析：（Ⅰ）题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦的中点，并寻找两条直线斜率关系；

（Ⅱ）根据（Ⅰ）中结论，设直线方程并与椭圆方程联立，求得坐标，利用以及直线过点列方程求的值.

试题（Ⅰ）设直线，，，.

将代入得，故，

.于是直线的斜率，即.所以直线的斜率与的斜率的乘积为定值.

（Ⅱ）四边形能为平行四边形.

因为直线过点，所以不过原点且与有两个交点的充要条件是，.

由（Ⅰ）得的方程为.设点的横坐标为.由得，即.将点的坐标代入直线的方程得，因此.四边形为平行四边形当且仅当线段与线段互相平分，即.于是

.解得，.因为，，，所以当的斜率为

或时，四边形为平行四边形.

解析

解析已在路上飞奔，马上就到！

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题圆锥曲线中的探索性问题

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