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题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知函数 则________;若,则实数的取值范围是_______________.

正确答案

-5;

解析

知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

设各项均为正数的数列的前n项和为Sn,已知,且对一切都成立。

(1)若λ = 1,求数列的通项公式;

(2)求λ的值,使数列是等差数列。

正确答案

见解析。

解析

(1)若λ = 1,则

又∵, ∴

化简,得,①

∴当时,,②

由② ①,得,   ∴)。

∵当n = 1时, ,∴n = 1时上式也成立,

∴数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列, an = 2n1)。

(2)令n = 1,得,令n = 2,得

要使数列是等差数列,必须有,解得λ = 0。

当λ = 0时,,且

当n≥2时,

整理,得

从而

化简,得,所以

综上所述,),

所以λ = 0时,数列是等差数列。

知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知函数

(1)讨论函数的单调区间;

(2)设,当a=1时,若对任意的x1,x2∈[1,e](e是自然对

数的底数),,求实数b的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)因为

所以

①若上单调递增,

②若,当时,上单调递减;

时,上单调递增。

③若,当时,上单调递减;

时,上单调递增。

综上:①当时,上单调递增。

②当时,上单调递减,上单调递增。

③当时,上单调递减,上单调递增。

(2)当时,

由(1)知,若,当时,单调递减,

时,单调递增,

所以 。

因为对任意的,都有成立,

问题等价于对于任意恒成立,

对于任意恒成立,

对于任意恒成立,

因为函数的导数上恒成立,

所以函数上单调递增,所以

所以,所以

知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

函数,定义的第阶阶梯函数,其中 ,的各阶梯函数图像的最高点

(1)直接写出不等式的解;

(2)求证:所有的点在某条直线上。

正确答案

见解析

解析

(1)   ------------------4分

(2)∵  -------------------6分

的第阶阶梯函数图像的最高点为,  -------------------7分

阶阶梯函数图像的最高点为

所以过这两点的直线的斜率为。 ------------------8分

同理可得过这两点的直线的斜率也为 。

所以的各阶阶梯函数图像的最高点共线,直线方程为    -------------------12分

知识点

指数函数的单调性与特殊点
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数

(1)求f(x)的周期和单调递增区间;

(2)若x∈[0,]时,f(x)的最大值为4,求a的值,并指出这时x的值。

正确答案

见解析。

解析

(1)   3分

的周期为               4分

的单调递增区间为     8分

(2)令

         当,即时,  12分。

知识点

指数函数的单调性与特殊点
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