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题型：填空题

填空题 · 5 分

15.已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________。

正确答案

解析

根据函数求出切线斜率，即可求出切线方程

考查方向

1、函数的奇偶性与解析式；2、导数的几何意义．

解题思路

先根据偶函数性质求出解析式，然后结合导数求切线方程。

易错点

函数的奇偶性问题，导数求解时出现失误。

知识点

变换法画函数图象

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知函数。

26.若是的极值点，求的单调区间；

27.求的范围，使得恒成立。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

依题意：f′（x）=+x﹣（1+a）=0，由于是一个极值点，所以f′（3）=0，解得a=3，：所以当f′（x）=+x﹣（1+a）=0，解得x=1,或x=3,所以的单调增区间（0，1）（3，+）减区间为（1,3）；

考查方向

本题考查不等式恒成立问题，考查了利用导数研究函数的单调性，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用，是中档题．

解题思路

由于f（1）=﹣﹣a，当a＞0时，f（1）＜0，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，利用导数求得f（x）在区间（0，+∞）上取得最小值为f（1）=﹣﹣a，由最小值大于等于0求得a的取值范围．

易错点

恒成立和存在性问题的区别。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．

解析

由f（x）=alnx+x2﹣（1+a）x+1，得f（1）=﹣a，当a＞0时，f（1）＜1，此时f（x）≥0对定义域内的任意x不是恒成立的．当a≤0时，f′（x）=+x﹣（1+a），x＞0，若0＜x＜1，则f′（x）＜0，故函数f（x）的单调减区间是（0，1）；若x＞1，则f′（x）＞0，故函数f（x）的增区间是（1，+∞）．∴f（x）在区间（0，+∞）上的极小值，也是最小值为f（1）=﹣a，由f（1）≥1，解得a≤﹣，故实数a的取值范围是（﹣∞，﹣]．

考查方向

本题考查不等式恒成立问题，考查了利用导数研究函数的单调性，注意导数的性质和分类讨论思想的灵活运用，是中档题．

解题思路

易错点

恒成立和存在性问题的区别。

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