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题型:简答题
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简答题 · 13 分

设f(x)=a(x-5)2+6ln x,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)。

(1)确定a的值;

(2)求函数f(x)的单调区间与极值。

正确答案

(1) ; (2) f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3

解析

(1)因f(x)=a(x-5)2+6ln x,

故f′(x)=2a(x-5)+.

令x=1,得f(1)=16a,f′(1)=6-8a,

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故.

(2)由(1)知,f(x)=(x-5)2+6ln x(x>0),

f′(x)=x-5+.

令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.

当0<x<2或x>3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2<x<3时,f′(x)<0,故f(x)在(2,3)上为减函数。

由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3

知识点

两角和与差的正弦函数
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

若函数上有两个不同的零点,则实数a的取值范围为__________.

正确答案

解析

知识点

两角和与差的正弦函数
1
题型:填空题
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填空题 · 4 分

设a>0.若曲线与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a,则a=______。

正确答案

解析

,解得.

知识点

两角和与差的正弦函数
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

在△ABC中,分别为内角的对边,且

(1)求角A的大小;

(2)设函数,当取最大值时,判断△ABC的形状。

正确答案

见解析。

解析

(1)在中,因为,由余弦定理

可得

 , (或写成是三角形内角)

(2)

,∴,∴

∴当,即时,有最大值是

又∵,∴,即为等边三角形,

知识点

两角和与差的正弦函数
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若a,b均为实数,且方程无实根,则函数是增函数的概率是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

知识点

两角和与差的正弦函数
下一知识点 : 两角和与差的正切函数
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