- 平面与平面平行的判定与性质
- 共156题
如图1,在直角梯形中,
,
,且
。
现以为一边向梯形外作正方形
,然后沿边
将正方形
翻折,使平面
与平面
垂直,
为
的中点,如图2。
(1)求证:∥平面
;
(2)求证:;
(3)求点到平面
的距离。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:
取中点
,连结
。
在△中,
分别为
的中点,
所以∥
,且
。
由已知∥
,
,
所以∥
,且
,
所以四边形为平行四边形。
所以∥
,
又因为平面
,且
平面
,
所以∥平面
,
(2)在正方形中,
。
又因为平面平面
,且平面
平面
,
所以平面
,
所以,
在直角梯形中,
,
,可得
。
在△中,
,
所以。
所以,
所以平面
,
(3)解法一:因为平面
, 所以平面
平面
,
过点作
的垂线交
于点
,则
平面
所以点到平面
的距离等于线段
的长度
在直角三角形中,
所以
所以点到平面
的距离等于
.
解法二:平面
,所以
所以
又,设点
到平面
的距离为
则 ,所以
所以点到平面
的距离等于
.
知识点
已知直线m、n和平面α,在下列给定的四个结论中,m∥n的一个必要但不充分条件是
正确答案
解析
略
知识点
设a,b,c为单位向量,a,b的夹角为600,则(a + b + c)·c的最大值为 。
正确答案
解析
略
知识点
已知,
,
,
,则
的最大值等于 。
正确答案
2
解析
略
知识点
若数列满足条件:存在正整数
,使得
对一切
都成立,则称数列
为
级等差数列。
(1)已知数列为2级等差数列,且前四项分别为
,求
的值;
(2)若为常数),且
是
级等差数列,求
所有可能值的集合,并求
取最小正值时数列
的前3
项和
;
(3)若既是
级等差数列
,也是
级等差数列,证明:
是等差数列。
正确答案
见解析
解析
(1)
(2)是
级等差数列,
(
)
(
)
所以, 或
对
恒成立时,
时,
最小正值等于
,此时
由于(
)
(
)
(
)
(3)若为
级等差数列,
,则
均成等差数列,(1分)
设等差数列的公差分别为
为
级等差数列,
,则
成等差数列,设公差为
既是中
的项,也是
中的项,
既是中
的项,也是
中的项,
设,则
所以(
),
,(
)
又,
,所以
,
(
)
综合得:,显然
为等差数列。
知识点
某公司承建扇环面形状的花坛如图所示,该扇环面花坛是由以点为圆心的两个同心圆弧
、弧
以及两条线段
和
围成的封闭图形.花坛设计周长为30米,其中大圆弧
所在圆的半径为10米.设小圆弧
所在圆的半径为
米(
),圆心角为
弧度。
(1)求关于
的函数关系式;
(2)在对花坛的边缘进行装饰时,已知两条线段的装饰费用为4元/米,两条弧线部分的装饰费用为9元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为,当
为何值时,
取得最大值?
正确答案
(1)(2)当
时,花坛的面积与装饰总费用的比最大
解析
(1)设扇环的圆心角为,则, 所以
,
(2) 花坛的面积为.装饰总费用为
,所以花坛的面积与装饰总费用的比
,令
,则
,当且仅当t=18时取等号,此时
.答:当
时,花坛的面积与装饰总费用的比最大。
知识点
如图,四棱锥P—ABCD中,底面ABCD是菱形,PA= PD,,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上。
(1)求证:AD平面PBE;
(2)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ;
(3)若,试求
的值。
正确答案
见解析。
解析
(1)证明:
由E是AD的中点, PA=PD,所以AD⊥PE;
又底面ABCD是菱形,∠BAD=60
所以AB=BD,又因为E是AD的中点 ,
所以AD⊥BE,
又PE∩BE=E 所以AD⊥平面PBE.
(2)证明:连接AC交BD于点O,连OQ;因为O是AC的中点,
Q是PC的中点,所以OQ//PA,
又PA平面BDQ,OQ
平面BDQ,所以PA//平面BDQ.
(3)解:设四棱锥P-BCDE,Q-ABCD的高分别为.
所以,
,
又因为,且底面积
,
所以.
知识点
设a,b,c是空间三条直线,是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是
正确答案
解析
略
知识点
如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,O为底面中心,A1O⊥平面ABCD,,
(1)证明:A1BD // 平面CD1B1;
(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积,
正确答案
见解析
解析
知识点
已知,则a,b,c大小关系为
正确答案
解析
略
知识点
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