曲线的参数方程_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）。

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值。

正确答案

解：（1）C1：（x+4）2+（y-3）2=1，C2：

C1为圆心是（-4，3），半径是1的圆

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆。

（2）当时，P（-4，4），Q（8cosθ，3sinθ），

故

C3为直线x-2y-7=0，

M到C3的距离

从而当时，d取得最小值。

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题型：简答题

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简答题

已知直线C1：（t为参数），圆C2：（θ为参数）．

(Ⅰ)当时，求C1与C2的交点坐标；

(Ⅱ)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点．当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

正确答案

解：(Ⅰ)当时，C1的普通方程为，

C2的普通方程为x2+y2=1，

联立方程组，解得C1与C2的交点为(1，0)，。

(Ⅱ)C1的普通方程为xsinα-ycosα-sinα=0，

A点坐标为(sin2α，-cosαsinα)，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为（α为参数），

P点轨迹的普通方程为，

故P点轨迹是圆心为（，0），半径为的圆。

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题型：简答题

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简答题

（选做题）

已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）。

（1）化C1，C2的方程为普通方程

（2）若C1上的点P对应的参数为，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值

正确答案

解：（1）C1：（x+4）2+（y-3）2=1；C2：

（2）

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题型：简答题

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简答题

圆C的参数方程为（θ为参数）。

（1）写出圆C的普通方程，并说明其圆心坐标与半径；

（2）若圆C上的点P所对应的参数，求经过点P的切线的方程。

正确答案

解：（1）普通方程为（x-2）2+（y+1）2=2，圆心为（2，-1），半径为；

（2）易得P（3，0），经过点P的切线方程为x+y-3=0。

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题型：简答题

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简答题

B．已知矩阵M=的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量．

C．在极坐标系中，圆C的方程为ρ=2sin(θ+)，以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），判断直线l和圆C的位置关系．

正确答案

B．矩阵M的特征多项式为f（λ）=||=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）

因为λ1=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）

由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ2=-1，…（5分）

设λ2=-1对应的一个特征向量为α=，

则得x=-y…（8分）

令x=1，则y=-1，

所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=…（10分）

C．直线l的参数方程为（t为参数），

消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x+1，即2x-y+1=0；…（2分）

ρ=2(sinθ+)即ρ=2（sinθ+cosθ），两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），

得⊙C的直角坐标方程为：（x-1）2+（x-1）2=2，…（6分）

圆心C到直线l的距离d==＜，

所以直线l和⊙C相交．…（10分）

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题型：填空题

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填空题

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为ρ(cosθ-sinθ)+1=0，则C1与C2的交点个数为（）。

正确答案

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），曲线C2的参数方程为（a＞b＞0，φ为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α与C1，C2各有一个交点。当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=时，这两个交点重合。

（1）分别说明C1，C2是什么曲线，并求出a与b的值。

（2）设当α=时，l与C1，C2的交点分别为A1，B1，当α=-时，l与C1，C2的交点为A2，B2，求四边形A1A2B2B1的面积。

正确答案

解：（1）C1是圆，C2是椭圆

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（1，0），（a，0），

因为这两点间的距离为2，所以a=3

当时，射线l与C1，C2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b），

因为这两点重合，所以b=1。

（2）C1，C2的普通方程分别为和

当时，射线l与C1交点A1的横坐标为

与C2交点B1的横坐标为

当时，射线l与C1，C2的两个交点A2，B2分别与A1，B1关于x轴对称，

因此，四边形A1A2B2B1为梯形

故四边形A1A2B2B1的面积为。

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M是C1上的动点，P点满足，P点的轨迹为曲线C2，

(Ⅰ)求C2的方程；

(Ⅱ)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|。

正确答案

解：（Ⅰ）设P(x，y)，则由条件知M，

由于M点在C1上，所以，即，

从而C2的参数方程为（α为参数）。

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程为，

射线与C1的交点A的极径为，

射线与C2的交点B的极径为，

所以。

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题型：简答题

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简答题

在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足

，点P的轨迹为曲线C2，

（Ⅰ）求C2的方程；

（Ⅱ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|．

正确答案

解：（Ⅰ）设P(x，y)，则由条件知M，

由于M点在C1上，所以，即，

从而C2的参数方程为（α为参数）。

（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为，

曲线C2的极坐标方程为，

射线与C1的交点A的极径为，

射线与C2的交点B的极径为，

所以。

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题型：简答题

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简答题

（选做题）

已知曲线C：（θ为参数，0≤θ<2π）。

（Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程。

正确答案

解：（Ⅰ）；

（Ⅱ）。

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